“一元二次方程”提高培优专题

、一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)xaa解为：xa②2()(0)xabb解为：xab③2()(0)axbcc解为：axbc④22()()()axbcxdac解为：()axbcxd（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0axbxabxaxb此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0xxx230(3)0xxxx3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。22694(3)4xxx2241290(23)0xxx24120(6)(2)0xxxx225120(23)(4)0xxxx十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022PPxPxqxq示例：22233310()()1022xxx②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220(0)()0()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa222224()()2424bbbbacaxcxaaaa示例：22221111210(4)10(2)2102222xxxxx备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a且b为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。（4）公式法：一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa②当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa③当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，并确定出a、b、c②求出24bac，并判断方程解的情况。③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）备注：一元二次方程的解题步骤：①首先看方程中,,abc是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：如：210100500xx（同除于10）21050xx这样更加方便计算。21130244xx（同乘于4，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）2230xx②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa法2：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么()()0axbxcaxxxx两边同时除于a，展开后可得：2212120()0bcxxxxxxxxaa12bxxa；12cxxa法3：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么21122200axbxcaxbxc①②得：12bxxa（余下略）常用变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx等练习：【练习1】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．【练习2】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．【练习3】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．4、韦达定理相关知识（1）若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和，那么21xx，21xx。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。（2）如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和，则21xx，21xx。①②（3）以21xx和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212xxxxxx（4）在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为0，则c；有一根为1，则cba；有一根为1，则cba；若两根互为倒数,则c；若两根互为相反数，则b。（5）二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解。5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：（1）220(0)pxpbxcp的两个根为：1xp，2xp（原因留给大家自行思考）例1：24935120xx2497,3575先求出方程：25120xx的两根为：1,25732x，故原方程的根为：1,21573573()7214x（2）220(0)xqbxqcq的两个根为：1qx，2qx例2：27003000000xx27001007,300000100(30)先解得方程：27300xx的两根为：1210,3xx，所以原方程的两个解为：12100(10)1000,1003300xx6、应用题（1）平均增长率的问题：(1)naxb其中：a为基数，x为增长率，n表示连续增长的次数，b表示增长后的数量。（2）面积问题：注意平移思想的使用7、换元法例：222()5()60xxxx解：令2yxx则原方程可化为：2560yy解得：12y23y①当22xx时，求得：121,2xx②当23xx时，求得：3,41132x（原方程共有4个解）练习：221211xxxx考点精析考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方．．．程．就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式：当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★1、方程782x的一次项系数是，常数项是。★2、若方程021mxm是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn－2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“－1”巧解代数式的值。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则m的值为。针对练习：★1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为，另一根是。★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2。★★4、已知a是0132xx的根，则aa622。★★5、方程02acxcbxba的一个根为（）A1B1CcbDa★★★6、若yx则yx324,0352。考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：mxmmx,02※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x216252x=0;;09132x例2、解关于x的方程：02bax例3、若2221619xx，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx，则4x+y的值为。变式1：2222222,06b则ababa。变式2：若032yxyx，则x+y的值为。变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为