导数题型小结

导数题型小结第一、利用导数的几何意义解决有关切线的问题例1．（2010年高考山东卷文科21）已知函数1()ln1()afxxaxaRx当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；分析:当)(1xfa时，),,0(,12lnxxxx所以211)('xaaxxf221xaxax所以'21f（），第一、利用导数的几何意义解决有关切线的问题例1．（2010年高考山东卷文科21）已知函数1()ln1()afxxaxaRx当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；即曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（fxfy又,22ln)2(f()2(2))(ln22)2,ln20.yfxfyxxy所以函数在点（，处的切线方程为即第二、利用导数研究函数的单调性和单调区间例2：（08全国一19）．已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）32()1fxxaxx∴2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax第二、利用导数研究函数的单调性和单调区间例2：（08全国一19）．已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．即()fx在233aa，递增，在223333aaaa，递减，在233aa，递增第二、利用导数研究函数的单调性和单调区间例2：（08全国一19）．已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥第三、利用导数研究函数的极值、最值问题例3:(11年北京文)已知函数xfxxke，（I）求fx的单调区间；（II）求fx在区间0,1上的最小值。解：（I）/()(1)xfxxke，令/()01fxxk；所以fx在(,1)k上递减，在(1,)k上递增；第三、利用导数研究函数的极值、最值问题例3:(11年北京文)已知函数xfxxke，（I）求fx的单调区间；（II）求fx在区间0,1上的最小值。（II）当10,1kk即时，函数fx在区间0,1上递增，所以min()(0)fxfk；当011k即12k时，由（I）知，函数fx在区间0,1k上递减，(1,1]k上递增，所以1min()(1)kfxfke；当11,2kk即时，函数fx在区间0,1上递减，所以min()(1)(1)fxfke。第四、利用导数研究函数的零点例4.（2009天津卷理）设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx()A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。C在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。第四、利用导数研究函数的零点例4.（2009天津卷理）设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx()解析:由题得xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1；又0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择D。第五、利用导数解决不等式及有关参数问题例6.（2010全国卷2理22）设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；1-1(),10,1110()1,'()10,'()0,()[0,)0,'()0,()(,0)()0()(0),11,()1xxxxxxxfxexxexgxexgxexgxgxxgxgxgxxxRgxgexxxfxx证明：要证明当时，只须证明：－即令则当时在上是增函数；当时在上是减函数。所以在处取得最小值，当时，即1-1(),10,1110()1,'()10,'()0,()[0,)0,'()0,()(,0)()0()(0),11,()1xxxxxxxfxexxexgxexgxexgxgxxgxgxgxxxRgxgexxxfxx证明：要证明当时，只须证明：－即令则当时在上是增函数；当时在上是减函数。所以在处取得最小值，当时，即