数学分析-第三讲-连续与一致连续

65第三讲连续与一致连续一、知识结构1、函数连续的概念和定义函数连续的概念:如果函数)(xf在区间I上有定义，并且函数)(xf的图象是连续不断的，我们称函数)(xf在区间I上连续.(1)函数)(xf在点0x连续的相关定义定义1设函数)(xf定义在);(0xU内，如果)()(lim00xfxfxx，则我们称函数)(xf在0x点连续.记作)()(lim00xfxfxx.定义1′设函数)(xf定义在);(0xU内，对0，0，当0xx时，有)()(0xfxf,则我们称函数)(xf在0x点连续.定义2设函数)(xf定义在);(0xU内，对0，0，当00xx时，有)()(0xfxf,则我们称函数)(xf在0x点连续.记作)()(lim00xfxfxx.定义3设函数)(xf定义在);(0xU内，对0，0，当xx00时，有)()(0xfxf,则我们称函数)(xf在0x点左连续.记作)()(lim0_0xfxfxx.(2)函数)(xf在区间I上连续66定义1如果函数)(xf在区间),(ba内任意一点连续，则我们称函数在区间),(ba内连续.定义1′固定),(0bax,对0，0，当0xx时(bxax00,)，有)()(0xfxf,则我们称函数在区间),(ba内连续.定义2如果函数)(xf在区间),(ba内任意一点连续，并且在点b左连续,则我们称函数)(xf在区间],(ba连续.定义3如果函数)(xf在区间),(ba内任意一点连续，并且在点a右连续,则我们称函数)(xf在区间),[ba连续.定义4如果函数)(xf在区间),(ba内任意一点连续，并且在点b左连续、点a右连续,则我们称函数)(xf在区间],[ba上连续.2、函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念:如果函数)(xf在区间I上有定义，函数)(xf的图象是连续不断的，并且函数)(xf的图象没有铅直的渐进线，我们称函数)(xf在区间I上一致连续.例如，函数xxf1)(在区间),(10内连续，但不一致连续.定义1对),(0bax,0，0，当0xx时(bxax00,)，有)()(0xfxf,则我们称函数在区间),(ba内一致连续.67定义1′设函数)(xfy在区间ba,上有定义，xx,是区间ba,内的任意一点,对0，0，当xx时，有)()(xfxf,则我们称函数)(xf在区间ba,上一致连续.说明:对给定的0,由于区间ba,内的点对xx,有无穷多个,所以对每一对xx,均存在一个,进而有无穷多个,无穷多个中有最小的,我们称函数)(xf在区间ba,上一致连续.无穷多个中没有最小的,我们称函数)(xf在区间ba,上不一致连续.定理1如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则函数)(xf在闭区间],[ba上一致连续.说明:如果函数)(xf在开区间ba,内连续，则函数)(xf在开区间ba,内不一定一致连续.3、函数)(xf的间断点（不连续点）定义1如果)()(lim00xfxfxx，我们称函数在点0x间断.(1)第一类间断点定义2如果极限)(limxfxx0存在，但不等于)(0xf，我们称点0x为函数的可去间断点.定义2如果极限)(limxfxx0与)(limxfxx0都存在但不相等，我们称点0x为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.(2)第二类间断点68非第一类间断点称为第二类间断点，即)(limxfxx0不存在，或)(limxfxx0不存在，或)(limxfxx0不存在，具体情况如下：①)(lim0xfxx；②)(lim0xfxx趋向于两个以上的数；③)(lim0xfxx；④)(limxfxx0趋向于两个以上的数；⑤)(lim0xfxx；⑥)(limxfxx0趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet）函数为无理数时，当为有理数时，，当xxxD01)(定义域,上的任意一点为第二类间断点.因为为无理数时当为有理数时当xxxDxx,0,,1)(lim0,所以)(lim0xDxx不存在.再例如,对函数x1sin,00x是函数的第二类间断点.因为xxx10sinlim不存在(xxsinlim不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上.二、解证题方法1、连续例1(天津大学2006年)证明:函数42142424322xxxxxxxf,,,)(在4x处连续(用语言证明).证明因为)(624212424322xxxxxx,对0,存在118,min,当4x时,有69184624212424322xxxxxxx)(,所以函数42142424322xxxxxxxf,,,)(在4x处连续.例2(天津大学2005年)证明:函数为无理数为有理数xxxxf,,,sin)(0在nx处连续(用语言证明).证明因为0nxnxsinsinlim,Rx,所以,对0，0，当nx时，有0xsin.又因xxfsin)(,Rx,所以0)(xf.故函数为无理数为有理数xxxxf,,,sin)(0在nx处连续.例3(复旦大学2002年)证明函数xxf1)(在区间],(10上不一致连续.证明取nxn1,11nyn,,,,321n,则],(,10nnyx.因为,)()(1nnnnnnyxxyyfxf所以,存在10,对所有0,当nnyx时,有,)()(1nnnnnnyxxyyfxf故函数xxf1)(在区间],(10上不一致连续.证法2取nxn1,11nyn,,,,321n,则],(,10nnyx.因为0nnnyxlim,而1)()(limnnnyfxf,所以函数xxf1)(在区间],(10上不一致连续.70例4(中北大学2005年)证明函数xxxxf112sin)(在区间),(10内不一致连续,在],[21与),[2上均一致连续.证明取nxn21,221nyn,,,,321n,则),(,10nnyx.因为0nnnyxlim,而224228nnyfxfnnnnlim)()(lim,所以函数xxxxf112sin)(在区间),(10上不一致连续.由于函数xxxxf112sin)(在区间],[21上连续,所以函数xxxxf112sin)(在区间],[21上一致连续.由于函数xxxxf112sin)(在区间],[12A上连续,所以函数xxxxf112sin)(在区间],[12A(2A)上一致连续.因为0112xxxxfxxsinlim)(lim,对2A,当Axx,时,有)()(xfxf.进而函数xxxxf112sin)(在区间),[A(2A)上一致连续.例5(北京工业大学2005年)设)(xf和)(xg为区间ba,上的连续函数，试证明)(),(max)(xgxfxF为区间ba,上的连续函数.证明因为)()()()()(),(max)(xgxfxgxfxgxfxF21，所以只要证明)()(xgxf为区间ba,上的连续函数即可.对bax,0,由于)(xf和)(xg为区间ba,上的连续函数,所以,对710，0，当0xx时，有)()(0xfxf,)()(0xgxg.又因20000)()()()()()()()(xgxgxfxfxgxfxgxf,所以)()(xgxf为区间ba,上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数)(xf为],[ba上的单调增函数,其值域为)(),(bfaf,证明)(xf在],[ba上连续.证明因为函数)(xf为],[ba上的单调增函数,所以函数)(xf在],[ba上任意一点的极限都存在.如果函数)(xf在],[ba上不连续,则函数)(xf在],[ba上存在间断点0x,如果ax0,则00)()(afaf.由函数)(xf在],[ba上的单调性知,函数)(xf无法取到)(),(0afaf上的值,这与函数)(xf的值域为)(),(bfaf矛盾.如果bx0,则00)()(bfbf.由函数)(xf在],[ba上的单调性知,函数)(xf无法取到)(),(bfbf0上的值,这与函数)(xf的值域为)(),(bfaf矛盾.如果bax,0，则不等式0000)()(xfxf及0000)()(xfxf至少有一个成立,不妨设0000)()(xfxf.由函数)(xf在],[ba上的单调性知,函数)(xf无法取到)(),(000xfxf上的值,这与函数)(xf的值域为)(),(bfaf矛盾.故函数)(xf在],[ba上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)()()(yfxfyxf72的惟一不恒为零的连续函数是指数函数,,)(xaxfx,其中01)(fa.分析:要说明函数)(xf是指数函数xa,应证明①0)(xf;②cxfcxf)()(,其中c是实数;③01)(fa.证明首先证明①0)(xf.因为0222222xfxfxfxxfxf)(,又因为0000)()()()()(xfxffxfxf(因为)(xf在,上不恒为零,所以存在,0x,使00)(xf).所以0)(xf,进而0)(xf.其次证明cxfcxf)()(,其中c是实数.a)当0c时,由)()()(0000fxfxf得10)(f得10)(f.b)当nc,n为正整数时,nnnxfxfxfxxfnxf)()()()(.c)当nmc,mn,为正整数时,mmmnxfnxfnxfnxnxfxnmf,又因为nnnnxfnxfnxfnxnxfxnnf,所以73nxfnxf1)(.进而nmxfxnmf.d)当nmc,mn,为正整数时,nmnmnmnmxfxfxffxfxnmf)()()()(10,e)当c为无理数时,有有理数列nc,使得ccnnlim.因函数)(xf连续,所以cccnnnxfxfxfxcfcxfnnn)(lim)()(lim)(lim)(.最后证明01)(fa.因为0)(xf,所以01)(fa.例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(xf是区间,R上的单调函数，定义)()(0xfxg.证明函数)(xg在区间,R上的每一点都右连续.分析：不妨设函数)(xf是区间,R上的单调增函数.要证明函数)(xg在区间,R上的每一点都右连续，只要