弹性力学简明教程(第四版)-第三章-课后作业题答案

1第三章平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数3ay在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a取何值，应力函数3ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得6,0,0xyxyyxay⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察x分布情况，注意到0xy，故y向无面力左端:0()6xxxfay0yh00yxyxf右端:6xxxlfay(0)yh()0yxyxlf应力分布如图所示，当lh?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xyOxfxf主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：2()0/6/6xAppeehbhbh同理可知，当a0时，可以解决偏心压缩问题。xylOh图3-8ePPeA2【3-6】试考察应力函数223(34)2Fxyhyh，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）444422420xxyy，显然满足（2）将错误!未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式312,0,xyFxyh2234(1)2xyyxFyhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：①在主要边界上（上下边界）上，2hy，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力/2/20,0yyxyhyh因此，在主要边界2hy上，无任何面力，即0,022xyhhfyfy②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：22340:0,1-2xyFyxffhh3221234:,12xyFlyFyxlffhhh因此，各边界上的面力分布如图所示：③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0上x=l上xylO/2h图3-9/2h()lh?31212h/2/2/2/2h/2/2/2/2h/2/212-h/2/2=0,0=,=0,hNxNxhhhSySyhhhxxhxFfdyFfdyyFfdyFFfdyFMfydyMfydyFl向主矢：向主矢：主矩：因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(a)(b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。【解答】采用半逆法求解。由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x(2)推求应力函数的形式将0x，体力0,xyffg，代入公式（2-24）有220xxfxy对y积分，得fxy（a）1yfxfx（b）其中1,fxfx都是x的待定函数。（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（2-25），得xyobgh()hb?q图3-104441440dfxdfxydxdx（c）在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即44140,0dfxdfxdxdx两个方程要求32321,fxAxBxCxfxDxEx（d）fx中的常数项，1fx中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数3232yAxBxCxDxEx（e）（4）由应力函数求应力分量220xxfxy（f）226262yyfyAxyByDxEgyx(g)2232xyAxBxCxy(h)(5)考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。主要边界0x上（左）：000,()0xxyxx将（f），（h）代入00xx，自然满足0()0xyxC（i）主要边界xb上，0xxb，自然满足5()xyxbq，将（h）式代入，得2()32xyxbAbBbCq（j）在次要边界0y上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：2000()62320bbyydxDxEdxDbEb（k）32000()6220bbyyxdxDxExdxDbEb（l）232000()320bbyxydxAxBxCdxAbBbCb（m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得2,,0qqABCDEbb代入公式（g），(h)得应力分量230,13,2xyxyqxxqgyxxbbbb【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。【解答】采用半逆解法求解(1)检验应力函数是否满足相容方程（2-25）设应力函数3223=AxBxyCxyDy，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）(2)由式（2-24）求应力分量由体力分量0,xyffg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：2226xxfxCxDyy（a）2262yyfyAxBygyy（b）222xyBxCyxy（c）（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。①对于主要边界0y，其应力边界条件为：60()0yy，0()0yxy（d）将式（d）代入式（b），（c），可得0=0AB，（e）②对于主要边界tanyx（斜面上），应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即0xyff，该斜面外法线方向余弦为，sinl，cosm.由公式（2-15），得应力边界条件tantantantansin()cos()0sin()cos()0xyxyxyxxyyxyyx（f）将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得2cot,cot23ggCD（g）将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：2cot2cotcotxyxygxgygygy【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应力函数的形式。按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与xyg，，和有关。由于应力分量的量纲是12LMT，而,xy的量纲是L，g的量纲是12LMT，又是量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x和y的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是,AgxBgy这两种项的结合，其中A，B是量纲一的量，只与有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为x和y的纯三次式，故可假设应力函数的形式为3223AxBxyCxyDy。