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第1页（共32页）圆与圆的方程培优第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共14小题）1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32．直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]3．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点且|AB|=2，则a=（）A．1B．C．2D．34．点M（x，y）在曲线C：x2﹣4x+y2﹣21=0上运动，t=x2+y2+12x﹣12y﹣150﹣a，且t的最大值为b，若a，b∈R+，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．45．设集合A={（x，y）|（x+3sinα）2+（y+3cosα）2=1，α∈R}，B={（x，y）|3x+4y+10=0}，记P=A∩B，则点集P所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．6．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1]B．[2﹣，2+]C．[，]D．[0，+∞）7．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆第2页（共32页）8．已知圆C1：，x2+y2=r2，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，给出下列结论：①a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）=0；②2ax1+2by1=a2+b2；③x1+x2=a，y1+y2=b．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．39．在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个10．已知圆O：x2+y2=1．若A、B是圆O上不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值是（）A．B．C．2D．11．数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学学习中数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下数和形之间可以相互转化，这样代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：与相关的代数问题可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题，由此观点，满足方程的点的轨迹为（）A．B．C．D．12．已知点A（﹣2，0），B（2，0），若圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）上总存在点P满足•=0，则r的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．[3，5]D．[1，5]13．已知点P是直线x+y﹣b=0上的动点，由点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN=90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b=（）A．2B．±2C．D．第3页（共32页）14．在平面直角坐标系中，圆O：x2+y2=1被直线y=kx+b（k＞0）截得的弦长为，角α的始边是x轴的非负半轴，终边过点P（k，b2），则tanα的最小值（）A．B．1C．D．2第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共20小题）15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF的点M所构成的轨迹的周长等于．16．圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是．17．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积之比为．18．由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+（y﹣2）2=1引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．19．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为；若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．20．如图所示的三棱锥A﹣BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为．21．P（x，y）是（x﹣3）2+y2=4上的点，则的范围是．如果圆（x﹣1）2+（y﹣b）2=2被x轴截得的弦长是2，那么b=．22．已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为圆H．对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是．第4页（共32页）23．已知空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体P﹣ABC的棱长为2，点A（m，0，0），B（0，n，0），mn≠0，则|OP|的取值范围为．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．25．已知点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为．26．当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆（x﹣2m）2+（y+m）2=m2相切，则直线l的方程为．27．已知直线l：y=k（x+4）与圆（x+2）2+y2=4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x﹣4y﹣6=0的距离的最大值为28．点M为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，NC1=2NB1，DM⊥BN，若球O的体积为9π，则动点M的轨迹的长度为．29．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0（a＞0）相交于A，B两点，若|AB|=2，则实数a的值为．30．已知直线l：x+y=3与圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2=10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P（），则四边形ACBP的面积为31．已知圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是．32．在平面直角坐标系xoy中，已知圆M：x2+（y﹣3）2=a2（a＞0），点，B（1，0），C（3，2），若圆M上存在点P，使得∠BPC=90°，∠PAB=45°，则a的值为．33．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．34．设M={（x，y）|x2+y2≤25}，N={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤9}，若M∩N=N，则实数a的取值范围是．第5页（共32页）三．解答题（共6小题）35．若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．36．如图，圆C：x2+y2+2x﹣3=0内有一点P（﹣2，1），AB为过点P且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．第6页（共32页）37．已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．38．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．第7页（共32页）39．已知直线x﹣2y+2=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y=x2的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN与圆C相切；（3）若函数y=x2图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断线QR与圆C的位置关系，并加以证明．40．已知以点C（a，）（a∈R，a≠0）为圆心的圆与x轴相交于O，A两点，与y轴相交于O，B两点，其中O为原点．（1）当a=2时，求圆C的标准方程；（2）当a变化时，△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；（2）设直线l：2x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，且|OM|=|ON|，求|MN|的值．第8页（共32页）圆与方程培优参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，动圆圆心与（4，0）的距离减去圆的半径为：=，∴①不正确；对于②，已知动圆C的圆心（a2，2a）的轨迹方程为：y2=4x，又圆C的半径为，∴圆C上有一点P（﹣，0）到点（，0）的距离与到直线x=﹣的距离相等，∴②正确；对于③，A（，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=相切．动圆圆心与（，0）的距离减去圆的半径为：=，当且仅当a=0时等号成立．此时在圆C上有且只有一点P（，0），使得以AP为直径的圆与直线x=相切．∴③正确．∴真命题的个数为2．故选：C．第9页（共32页）2．直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2=0的距离：d==，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]=[2，6]．故选：A．3．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点且|AB|=2，则a=（）A．1B．C．2D．3【解答】解：圆的圆心为（1，2），半径为2，∵|AB|=2，∴圆心到直线AB的距离d==，即=，解得a=1．故选：A．4．点M（x，y）在曲线C：x2﹣4x+y2﹣21=0上运动，t=x2+y2+12x﹣12y﹣150﹣a，第10页（共32页）且t的最大值为b，若a，b∈R+，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C：x2﹣4x+y2﹣21=0可化为（x﹣2）2+y2=25，表示圆心在A（2，0），半径为5的圆，t=x2+y2+12x﹣12y﹣150﹣a=（x+6）2+（y﹣6）2﹣222﹣a，（x+6）2+（y﹣6）2可以看作点M到点N（﹣6，6）的距离的平方，圆C上一点M到N的距离的最大值为AN+5，即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点，所以直线AN的方程为：y=（x﹣2），联立，解得或（舍去），当时，t取得最大值，则tmax=（6+6）2+（﹣3﹣6）2﹣222﹣a=b，所以a+b=3，所以（a+1）+b=4，则=（）[（a+1）+b]=≥1，当且仅当，a+b=3，即a=1，b=2时取等号．故选：A．5．设集合A={（x，y）|（x+3s