离散型随机变量的均值与方差正态分布含解析理

获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划课后限时集训(五十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝()A.185B.215C．4D.245B[由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝C33C35＝110，P(X＝4)＝C23·C12C35＝35，P(X＝5)＝C13·C22C35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215.]2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544)A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.3174B[因为P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，所以P(3＜ξ＜6)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，故选B.]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ－1012Px1316y若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝()A．1B.119C.23D．2B[∵E(ξ)＝13，∴由随机变量ξ的分布列知，x＋13＋16＋y＝1，－x＋16＋2y＝13，获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划∴x＝518，y＝29，则D(ξ)＝－1－132×518＋0－132×13＋1－132×16＋2－132×29＝119.]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝()A．3B.72C.185D．4B[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝A22A25＝110，P(ξ＝3)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(ξ＝4)＝A33C12C13＋A33C23C12A45＝35，则E(ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.]5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D.12，1C[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞52或p＜12.由p∈(0,1)，可得p∈0，12.]二、填空题6．设X为随机变量，X～Bn，13，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．80243[由X～Bn，13，E(X)＝2，得np＝13n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝C261321－134＝80243.]7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6826，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9544，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9974)获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划0．8185[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝12×(0.6826＋0.9544)＝0.3413＋0.4772＝0.8185.]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝________.4．5[X的取值为3,4,5.又P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝35.所以随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6∴E(X)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5.]三、解答题9．(2019·武汉模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4000名考生的平均成绩–x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩–x和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134≈0.501.获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划[解](1)由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴–x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴这4000名考生的平均成绩为70.5分．(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝–x＝70.5，σ2＝204.75，σ≈14.31，∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.6826，∴P(Z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.1587×4000＝634.8≈635.(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.1587＝0.8413.而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44×0.84134≈1－0.501＝0.499.10．(2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元．(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．[解](1)当n≥20时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000；当n≤19时，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2000，∴f(n)＝200n＋n600n－n(n∈N)．(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400，∴P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1，获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1∴E(X)＝8800×0.1＋9400×0.2＋10000×0.3＋10200×0.3＋10400×0.1＝9860.B组能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.16B.13C.12D.56B[由题意知a，b，c∈[0,1]，且2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，解得b＝13，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝13.]2．(2019·杭州模拟)已知0＜a＜12，随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pa12－a12当a增大时，()A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)减小，D(ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小D．E(ξ)减小，D(ξ)减小B[由题意得，E(ξ)＝－a＋12，D(ξ)＝－a＋12＋12×a＋－a＋12212－a＋－a＋12－12×12＝－a2＋2a＋14，又∵0＜a＜12，∴当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大．]3．2018年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划38[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝12，故所求概率P＝C24124＝38.]4．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．[解](1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B2，340.P(ξ＝0)＝C02×37402＝13691600，P(ξ＝1)＝C12×340×3740＝111800，P(ξ＝2)＝C22×3402＝91600，故所求分布列为X012获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划P1369160011180091600ξ的均值为E(ξ)＝0×13691600＋1×111800＋2×91600＝320，ξ的方差为D(ξ)＝0－3202×13691600＋1－3202×111800＋2－3202×91600＝111800.