初中四边形综合复习讲义

1/6GFEDCBAHGFEDCBA第四章四边形综合例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（）（A）①②.（B）①②③.（C）②③④（D）①②③④。例2、已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须．．满．足．怎样的条件？例4、如图所示,ABCD中,AE,AF是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE交AF于G.(1)求ABCD的面积;(2)求△ECD的面积;(3)求证:△AEG为等边三角形.例5、矩形ABCD中，AB=2，AD=．（1）在边CD上找．一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．四边形ABCD菱形矩形等腰梯形平行四边形EFGH2/6例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式例7、如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=BE．例8、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。①DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③③在②的条件下且CF＝2AD。（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。课后练习：1、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（）A平行四边形；B梯形；C对角线相等的四边形；D对角线垂直的四边形．2、若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是10，则它的面积为（）A、50B、100C、150D、2003、如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm.作DE∥AC，交BC的延长线于E，则下列结论:(1)四边形ACED是平行四边形.（2）∠BDE=∠BOC=900;(3)BC+AD=BE=5cm;(4)梯形ABCD的高DH==2.4cm,面积为6cm2；（５）S梯形ABCD=SΔBDE.。其中正ABCDFGEM图1FMECGADB3ABCPDE3/6确的有（）A5个B4个C3个D2个4、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（）A．36mB．48mC．96cmD．60m5、把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）A．cmB．(1013)cmC．22cmD．18cm6、在梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则的值为（）A.B.C.D.二、填空题1、一个多边形内角和为，则它的边数为______，共有对角线______条，外角和为______。2、一个多边形除去一个内角外,其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是____.3、如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，则∠1=_____4．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD垂足为E。若OE：OD=1：2，AE=3cm,则DE=cm.5、如上右图，正方形ABCD的边长为1，EF分别在BC、CD上，∠EAF=45º，若ΔCEF的面积为41，则ΔEAF的面积为6、如图，正方形ABCD，以AB为边分别在正方形内、外作等边△ABE、△ABF，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE四边形S=_________.7、如图，梯形ABCD中，ABDC∥，90ADCBCD，且2DCAB，分别以DAABBC，，为边向梯形外作正方形，其面积分别为123SSS，，，则123SSS，，之间的关系是．3cm3cmABCDEFEBCDAF11S2S3SABDC4/68、如图，菱形111ABCD的边长为1，160B；作211ADBC于点2D，以2AD为一边，做第二个菱形222ABCD，使260B；作322ADBC于点3D，以3AD为一边做第三个菱形333ABCD，使360B；依此类推，这样做的第n个菱形nnnABCD的边nAD的长是．9、如图，矩形ABCD中，3ABcm，6ADcm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且2EFBE，则AFCS△2cm．10、如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。则△CDE的面积等于平方厘米三、解答题1、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB=90BC,的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;(2)当A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.2、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，．（1）求证：BOEDOF△≌△；（2）当EF与AC满足什么关系时，以AECF，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．3、梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，证明①如果AB+CD=BC，则有∠DEC=90°和CE是∠DCB的平分线②如果∠BEC=90°，则有AB+CD=BC③若△DEC的面积是12，求梯形ADCB的面积1D1B33AC2B2C3D3B1D2C1ADCEFGBFDOCBEABAECDFGEADBC5/64、如图，平行四边形ABCD中，ABAC，1AB，5BC．对角线ACBD，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BCAD，于点EF，．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．5、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出示意图．6、如图，在RtABC△与RtABD△中，90ABCBAD，ADBCACBD，，相交于点G，过点A作AEDB∥交CB的延长线于点E，过点B作BFCA∥交DA的延长线于点FAEBF，，相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在RtABC△的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）7、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，5ABDC，6AD，12BC．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQAB∥时，P点离开D点的时间等于秒；（3）当PQC，，三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？ABCDOFEACQDPBＤＧＣＢＥＨＦＡ6/6QPFABCDE8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．9、四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A移动。①运动中的四边形PQEF是正方形吗？请说明理由；②PE在运动中是否总过某一点？请说明理由是；④边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？10、在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．(1)当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋33PQ；（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；BCADEBCAGDFE