2016数学分析2复习题答案(级数部分)

1级数一、数项级数1.级数nu收敛的定义为：(1).用定义判别11lnnnn的敛散性.解2312341lnlnlnlnln(1)(12123nnnSnnnn），故发散.(2)证明:若2121()nnnaa收敛,且lim0nna,则级数1nna收敛.证明设2121()nnnaa的和为S，2121()nnnaa与1nna的部分和分别为nnS与，则2121221211(),,nnnkknnknkkSaaaaaaaaa=于是2limlim,nnnnSS又lim0nna，从而21221limlim(),nnnnnaS故limnn收敛，即1nna收敛.2.级数nu收敛的柯西准则为：(1)用柯西收敛准则证明：若nu，nv收敛，则级数()nnaubv收敛，其中,ab为常数.3.级数nu收敛的必要条件为：如：判别11(1)21nnnn的敛散性:11lim||lim0,lim0,212nnnnnnuun故发散.4.收敛级数的性质（简述）如：31cos1()nnann311cos1nnnann收敛，发散，故原积分发散.级数部分和数列有界是级数收敛的必要条件,部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件.如证明：若{}na单调减少，1(N),nan且1()nan，则级数11(1)nnnaa收敛.证明情形111,a由已知1(N),nan级数111(1)0nnnnaa,收敛.情形211,a{}na单调减少，1(N),nan111101.nnnnnnnaaaaaaa设11(1)nnnaa的部分和为nS，则1111111111(1)nnnkkknkknkkkkkaaaSaaaaaaa=即此正项级数的部分和数列有界，于是级数收敛.6.重要比较标准：01|,|,1nnqaqq当|时收敛当|时发散;7.叙述正项级数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：(1)12(1)3nnnn解111122(1)13333nnnnnnnnnn与皆收敛，故原级数收敛.或2(1)212limlimlim11,3323nnnnnnnnnnnu收敛2(2)16!nnnnn解设6!nnnnun，则1limnnnuu61e，由比式判别法，16!nnnnn发散.(3)11(1cos)nn解1101cos(),.2nnn发散(4)215(2)nnnn解22510(),.(2)nnnnnnnn发散(5)2221ln1nnn解22221220lnln(1)(),.111nnnnn收敛(6)21(ln)pnnn解1102(ln)ppnnnn时，有，级数发散.p0时，1+(ln)pxx在[2，)为非负减函数，而p=1时,22211ln|ln|lnlnpdxdxxxxxx,发散.p1时,12211(ln)ln1ppdxxxxp1,11(ln2)11pppp，故21(ln)pnnn在,,,11pp当时收敛当时发散.8.绝对收敛与条件收敛的定义为：条件收敛的级数本身一定收敛.(1)若nu绝对收敛，则nu必定收敛；若nu条件收敛，则||nu必定发散.(2)证明：若2nu与2nv都收敛，则nnuv收敛.证明221N,||(),2nnnnnuvuv于是||,.nnnnuvuv收敛从而收敛(7)设na绝对收敛，证明：12()nnaaaa也绝对收敛.证明由||na收敛，知na收敛从而12nnsaaa有界，即0,N,||,nMnsM使得有于是12|()|||nnnaaaaMa，故12()nnaaaa绝对收敛，从而12()nnaaaa收敛.9.叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质.判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)11(1)tannnn3解由于11(1)tantannnn～n1)(n,11nn发散，所以11tannn发散.又1tann单调减少趋于零,所以11(1)tannnn收敛,原级数条件收敛.(2)2cos(0,0)pnnxpxn解cos11||ppnxpnn时，，从而原级数绝对收敛，也收敛.01p时，1111sinsin11122(0,)|||cos|2sincos=,11122sin2sinsin222nnnkknxxxPkxxkxxxx,{1pn}单调减少趋于零，由狄利克雷判别法原级数收敛，同理可证2cos22pnnxn收敛.但22coscos1cos21||2ppppnnxnxnxnnnn，因发散，2cos22pnnxn收敛，从而2cos||pnnxn发散，即原级数条件收敛.(3)5111(1)2nnnnn解由Leibniz判别法511(1)nnn收敛，1{}2nn单调有界，由阿贝尔判别法，原级数收敛，但555111111(),.22nnnnnnnnn发散即原级数条件收敛.(4)1sin52nnnn解1sin15N,,lim,222nnnnnnnnvnnvv而从而原级数绝对收敛，也收敛.(5)11111(-1)nnnnuu，其中0(1,2,3,)nun，且lim1nnnu解由lim1nnnu，知11111111lim2,.nnnnnnuunuu故发散记11111223111111111(1)(1)nknnkkknnSuuuuuuuu=，1lim1,lim0.nnnnnuu于是21211111(),nnSnuuu=21221221111(),nnnnSSnuuu=从而原级数收敛,即原级数条件收敛.(6)111(1)npnnn解111()nnn.1)1111|(1)|()nppnpnnn时，，从而原级数绝对收敛，也收敛.42)01p时，11(1)npnn收敛，{11nn}单调有界，由阿贝尔判别法原级数收敛，但111|(1)|()nppnnnn，从而121|(1)|npnnn发散.即原级数条件收敛.3)0p时，通项不趋于零，发散.2111(7)(1)[]3nnnnn解21lim133nnnn,故211(1)3nnnn绝对收敛,而111(1)nnn条件收敛，故原级数条件收敛.二、函数列及其一致收敛性1.极限函数、收敛域2.})({xfn在数集D一致收敛于()fx的定义;叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法(13.1,13.2）.(1)222()1||nnxfxnx,22()1nxgxnx，),(x.lim||()nnfxx；lim(0)nngx(2)判别一致收敛性1)cos()nnxfxn在R解()lim()0,nnfxfx(,)1sup()()0nxfxfxn（n），故()nfx在(,)上一致收敛.2)2xnxn在0,0aa;在0,解()lim()1,nnfxfx()()nxfxfxxn，0,limsup()()lim0nnnxaafxfxan，故()nfx在0,a上一致收敛.1()()2nnfnfnnn，()nfx在(,)上不一致收敛.(,)limsup()()10nnxfxfx或3)()(1),[0,1]nnfxnxxx解()lim()0,nnfxfx11()()nffnn1111(1)[1()]nnenn（n），故()nfx在[0,1]上不一致收敛.另解()()()=(1),[0,1]nngxfxfxnxxx令，11()(1)[1(1)]0,1ngxnxnxxn得又(0)(1)=0,gg故111()()=(1),111ngxgnnnn在[0,1]上的最大值为即10,1]11limsup()()lim(1)0,11nnnnxfxfxnenn[于是()nfx在[0,1]上不一致收敛.3.一致收敛函数列的性质5(1)若})({xfn的每个函数都在[,]Iab连续,且()()()nfxfxn,则(A)A、当)(xf在I上间断时,})({xfn在I上不一致收敛;B、当)(xf在I上连续时,})({xfn在I上一致收敛;C、当})({xfn在I上不一致收敛时,)(xf在I上间断;D、)(xf在I上有界.(2)证明：若()nfx在R一致收敛于()fx,且nN,()nfx在R一致连续，则()fx在R也一致连续.证明由已知nf在D上一致收敛于(),0,N,,RfxNnNx于是，有)()(xfxfn.从而对121,,R,nNxx有11()()nfxfx及22()()nfxfx.由()nfx在R一致连续,对上述120,Rxx，，只要1212||,()()nnxxfxfx就有，此时12112212112212()()=()()+()()+()()()()|+|()()|+|()()3nnnnnnnnfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx，即()fx在R也一致连续.三、函数项级数1.收敛域、和函数的定义为2.函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P33-37）(1)叙述函数项级数()nux在数集D一致收敛的定义叙述函数项级数一致收敛的柯西准则(3)叙述函数项级数一致收敛的必要条件(4)叙述M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性：1).7211nnxnx在R解当1n时，521()2nuxn，由于51212nn收敛，由M判别法，原级数在R上一致收敛.2).1!nnxn在,0aaa解当1n，[,]xaa时，!!nnnxavnn，而1lim01,nnnvv由比式判别法，1!nnan收敛,从而由M判别法，原级数在R上一致收敛.3).12(sin)arctan3nnnnx在R解当1n时，222(sin)arctan233223nnnnnnx，级数21223nn收敛，从而由M判别法，原级数在R上一致收敛.4).2211(1)nnnx在R解设221()naxnx，nnxb)1()(，则)(xan对固定的),(x关于n是单调的，且1|()|,naxn即)(xan在),(上一致收