基于DSP的IIR滤波器设计与仿真

44科协论坛·2008年第6期（下）数字信号处理，简称DSP，灵活，精度高，同时强调运算处理的实时性、可靠性。随着数字化时代的发展，数字信号处理（DSP）已成为众多电子产品的核心技术，DSP在科研、国防、电信、通信、电子等IT业中发挥着越来越重要的作用。在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号的处理和分析都是基于滤波器而进行的。但是，传统的数字滤波器的设计使=用繁琐的公式计算，改变参数后需要重新计算，从而在设计滤波器尤其是高阶滤波器时工作量很大。利用MATLAB信号处理可以快速有效地实现数字滤波器的设计与仿真。无论是IIR滤波器还是FIR滤波器都有如下式的通用差分方程：()0),()(10≥−−−=∑∑njnybknxanyMjjNKk式中，若所有的系数b等于0，则表示FIR滤波器；若至少有一个系数b不等于0，也即表示n时刻的输出不仅由n-N到n时刻的输入决定，还和n-M到n-1时刻的输出有关，此时刻式表示另一个无限冲激响应滤波器，即IIR滤波器。在零初始条件下，我们对上式作Z变换，可以得到IIR滤波器的传输函数：()nnnnzbzbbzazaazXzYzH−−−−++++++==110110)()(数字滤波器可以理解为是一个计算机程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波器有多种分类，根据数字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR数字滤波器具有无限的冲激响应，与模拟滤波器相匹配，所以IIR滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。平时所要设计的数字滤波器，阶数和类型并不一定是完全给定的，很多时候要根据设计要求和滤波器效果不断的调整，以达到设计的昀优化。在这种情况下，滤波器设计就要进行大量复杂的运算，单纯的靠公式计算和编制简单的程序很难在短时间内完成。利用MATLAB强大的计算功能进行计算机辅助设计，可以快速有效地设计数字滤波器，大大简化了计算量。IIR数字滤波器的设计既可以从模拟滤波器的设计入手来进行，也可以直接利用指标参数，通过调用滤波器设计子程序或函数来进行。由于模拟滤波器（AF）的设计理论很成熟，而且有多种具有优良特性的典型AF可供选用，所以常常从AF来设计数字滤波器（DF）。利用AF来设计DF，就是按照技术要求设计一个AF，AF的传输函数为()sHa，再按一定的转换关系将()sHa转换成DF的系统函数()zH。这种设计方法的关键是完成由s平面到z平面的变换。将传输函数()sHa从s平面转换到z平面的方法有多种，工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变化法。2.1设模拟滤波器的传输函数为()sHa，相应的单位冲激响应是()tha，对()tha进行等间隔采样，采样间隔为T，得到()nTha,将()()nThnha=作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数()zH是()nh的z变换。因此脉冲不变法是一种时域上的转换方法，他使()nh在采样点上等于()tha。()∑=−=NiaSiSAisH1()∑=−−=NisiTzeAizH111将()sHa在s平面上沿虚轴按照周期Ts/2p=Ω延拓后，再按标准映射关系sTez=，映射到z平面上，就得到了()zH。映射关系（见图1）。在s平面上的Tp±之间水平带的左半部分映射z平面的单位圆内部，虚轴映射单位圆，这样aH(s)因果稳定，H（z）也是因果稳定的。脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即TΩ=w，数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性；而且数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。当模拟低通的昀高截止频率超过了折叠频率T/p时，会在数字化后产生频谱混叠，再通过标准映射关系sTez=，结果在pw=附近形成频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。频谱混叠现象是脉冲响应不变法的昀大的缺点，因此这种方法只适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。2.2对脉冲响应不变法进行改进，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-TT//pp—之间，再用sTez=转换到z平面上（见DSPIIR·215104DSPIIRMATLABIIRMATLABTu111.4A1007-3973200806-044-0245科协论坛·2008年第6期（下）图2）。为了实现s平面上整个虚轴jΩ完全压缩到s1平面上虚轴j1Ω的-TT//pp—之间的转换，利用正切变换实现频率压缩：⎟⎠⎞⎜⎝⎛Ω=ΩTT121tan2；⎟⎠⎞⎜⎝⎛Ω=TTs121tan2；sTSTz++=22式中，T是采样间隔，当1Ω从-T/p经过0变化到T/p时，Ω则由-∞过0变化到+∞，映射了整个虚轴，然后再转换到z平面上，即为双线性变换。由于从s平面到s1平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象，这是双线性变化法比较脉冲响应不变法昀大的优点。另外，从s1平面转换到Z平面仍然采用标准转换关系sTez=，s1平面的-TT//pp—之间水平带的左半部分映射Z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样()sHa因果稳定，转换成的()zH也是因果稳定的w与Ω之间的非线性关系是双线性变换的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后就得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系就要求模拟滤波器的频响具有片段常数特性，即其一频率段的幅频响应近似某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性）。因此双线性变换法得到了广泛的应用。对于具有片段常数特性的滤波器，双线性变换后，仍然得到幅频特性为片断常数特性滤波器，但各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变可以通过频率的预畸来加以校正，即用⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ww21tan2T将临界事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需的频率。3MATLAB3.1（1）选择函数Buttord。Buttord函数可在给定的滤波器性能情况下，选择Butterworth滤波器昀小的阶。其格式为：[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)；其中，Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值为0≤Wp(或Ws)≤1，当其值为0.5fs:Rp,Rs分别是通带和阻带区的波纹系数：‘s’为生成模拟滤波器:n为满足指定性能的Butterworth滤波器的阶数：Wn为滤波器的截止频率。（2）传输函数u_buttap。采用自编函数u_buttap其格式为：[b,a]=u_buttap(N,Omegac)；其中，b为模拟滤波器传输函数的分子多项式系数；a为模拟滤波器传输函数的分母多项式系数；N为Butterworth滤波器的阶数；Omegac为截止频率。（3）转换函数Impinvar。Impinvar函数可将模拟滤波器（b,a）转换成数字滤波器（bz,az），两者的脉冲响应不变，即模拟滤波器的冲激响应按Fs取样后等同于数字滤波器的冲激响应。其格式为：[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)；其中，b为模拟滤波器的分子多项式系数；a为模拟滤波器传输函数的分母多项式系数；Fs为采样率；bz为数字滤波器的系数函数H(z)的分子多项式系数；az为数字滤波器的系统函数H(z)的分母多项式系数。3.2impinvar_pmwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;T=1;Fs=1/T;OmegaP=wp/TOmegaP=ws/T[N,Wn]=buttord(Omegap,OmegaS,Rp,As,‘s’)OmegaC=OmegaP/((10∧（Rp/10)-1)∧(1/(2*N)));[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);[bz,az]=impinvar(b,a,1)draw_filter(bz,az,wp,ws,Rp,As,1)Function[b,a]=u_buttap(N,Omegac);%UnnormalizedButterworthAnalogLowpassFilterPrototype%[b,a]=u_buttap(N,Omegac);%b=numeratorpolynomialcoefficientsofHa(s)%a=denominatorpolynomialcoefficientsofHa(s)%N=OrderoftheButterworthFilter%Omegac=Cutofffrequencyinradians/sec[z,p,k]=u_buttap(N);p=p*Omegac;k=k*Omegac∧N;B=resl(poly(z));b0=k;b=k*B;a=real(poly(p));Functiondraw_filter(b,a,wp,ws,Ap,As,fig)Figure(fig);%freqz的修正[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);ep=sqrt(10∧(Ap/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10∧(As/20));3.3基于DSP的数字滤波分析及应用用MATLAB的程序仿真可以快速有效的设计由软件组成的常规数字滤波器，设计方便、快捷、大大减轻了工作量。在设计过程中可以根据滤波器特性，随时更改参数，以达到滤波器设计的昀优化。利用MATLAB设计数字滤波器在数字通信系统和计算机领域信号处理中，有着广泛的应用前景。[1].[M].2005.8.