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第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质1.理解对数函数的概念，图象及性质．(重点)2.根据对数函数的定义判断一个函数是否是对数函数．(易混点)3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点),1.对数函数的概念函数______________________叫做对数函数，其中___是自变量．2.对数函数的图象与性质y＝logax(a0，且a≠1)xa10a1图象a10a1定义域_________值域___过定点过定点_____，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0x1时，_____当x1时，_____当0x1时，_____当x1时，_____单调性是(0，＋∞)上的_______是(0，＋∞)上的_______性质对称性函数y＝logax和函数y＝log1ax的图象关于___轴对称(0，＋∞)R(1,0)y0y0y0y0增函数减函数x3.反函数(1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为_______．(2)互为反函数的两函数的图象关于___________对称．(3)设y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，点(a，b)在函数y＝f(x)的图象上，即f(a)＝b，则点________在函数y＝g(x)的图象上，即__________.反函数直线y＝x(b，a)g(b)＝a做一做(1)函数y＝log12x的定义域为______．(2)函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是()A．10B．12C．13D．14答案：(1)(0，＋∞)(2)A1．对数函数概念的理解(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y＝log2(x－1)，y＝log2x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数图象和性质的关系图象特征函数性质位于y轴右侧定义域为(0，＋∞)，值域为R恒过定点(1,0)对于任意的a＞0且a≠1，总有loga1＝0图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间(1，＋∞)内纵坐标都大于0；另一类图象恰好相反当a＞1时，(1)若0＜x＜1，则logax＜0(2)若x＞1，则logax＞0当0＜a＜1时，(1)若0＜x＜1，则logax＞0(2)若x＞1，则logax＜0自左向右看，a＞1时图象逐渐上升；0＜a＜1时图象逐渐下降当a＞1时，y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数3.底数对对数函数图象的影响(1)依据：对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象与直线y＝1的交点是(a,1)．(2)对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，也就是说，沿直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)．4．对反函数的解读(1)函数y＝ax与函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(2)从反函数的定义可知，任意一个函数不一定有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．对数函数的概念下列函数中，哪些是对数函数？①y＝logax2(a0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x0，且x≠1)；⑤y＝log5x.思路点拨：从系数、底数、真数三个方面分别判断．解：①中真数不是自变量x，不是对数函数．②中对数式后减1，∴不是对数函数．③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．⑤为对数函数．1．从“三方面”判断一个函数是否是对数函数2．确定对数函数解析式的步骤(1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式y＝logax(a＞0，a≠1)．(2)列：通过已知条件建立关于参数a的方程．(3)求：求出a的值．1．f(x)是对数函数，若f(3＋1)＋f(3－1)＝12，则f(17＋1)＋f(17－1)＝______.解析：∵f(x)是对数函数，∴设f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，∵f(3＋1)＋f(3－1)＝12，∴loga(3＋1)＋loga(3－1)＝loga(3－1)(3＋1)＝loga2＝12，∴a12＝2.又a＞0，∴a＝4，∴f(17＋1)＋f(17－1)＝log4(17＋1)(17－1)＝log416＝2.答案：2对数函数的图象如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取3、43、35、110，则相应于c1、c2、c3、c4、的a值依次为()A.3、43、35、110B．3、43、110、35C.43、3、35、110D．43、3、110、35思路点拨：可先按照底数大于1和底数大于0小于1分类，然后再比较与y轴的远近程度；也可以通过与y＝1的交点比较．解析：方法一：先排c1、c2底的排序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为3、43.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为35、110.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为3、43、35、110.故选A.方法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为3、43、35、110，故选A.答案：A1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，1a，－1.2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．3．对数函数图象性质的助记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．2．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()解析：由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象应在y轴左侧，可排除A、D选项；当a＞1时，y＝ax应为增函数，y＝loga(－x)应为减函数，可知B项正确；而对C项，由图象知y＝ax递减⇒0＜a＜1⇒y＝loga(－x)应为增函数．与C图不符．故选B.答案：B与对数函数有关的定义域求函数的定义域：(1)y＝log(x－2)(3x－4)；(2)y＝logax－1.思路点拨：列出满足题目的不等式组→解不等式组→取交集得定义域解：(1)由3x－4＞0，x－2＞0，x－2≠1，得x＞43，x＞2，x≠3.∴x∈(2,3)∪(3，＋∞)，即函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)∵loga(x－1)≥0，当a＞1时，x－1≥1，即x≥2；当0＜a＜1时，0＜x－1≤1，即1＜x≤2.∴函数定义域为当a＞1时，x∈[2，＋∞)；当0＜a＜1时，x∈(1,2]．【互动探究】本例(2)改为y＝loga(ax－1)．解：ax－1＞0，得ax＞1，若a＞1，则x＞0；若0＜a＜1，则x＜0.所以当a＞1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)．1．对数函数的定义域为(0，＋∞)．2．与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，求y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0.3．求下列函数的定义域：(1)y＝1lgx＋1－3；(2)y＝logx(2－x)．解：(1)由lgx＋1－3≠0，x＋1＞0，得x＋1≠103，x＞－1，∴x＞－1，且x≠999，∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．(2)由x＞0x≠12－x＞0，得0＜x＜2，且x≠1.所以函数的定义域为{x|0＜x＜2，且x≠1}．易错误区系列(七)忽视底数取值范围对函数图象的影响致误已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(3)g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是()【错解】选A或B或D.忽视对a所满足条件的分析，无法推出0＜a＜1，而导致对函数图象判断出错．【正解】∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0.又f(3)·g(3)＜0，∴g(3)＝loga3＜0，∴0＜a＜1，∴f(x)＝ax在R上是减函数g(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，故选C.【纠错心得】1.记准指数函数、对数函数的图象指数函数和对数函数的图象都可以分为底数a＞1和0＜a＜1两种类型，如本例中只要确定了0＜a＜1，函数图象的变化趋势也就确定了．2．正确利用函数性质确定字母的范围当a＞1时，若x＞0，则ax＞1，若x＜0，则0＜ax＜1；当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜ax＜1，若x＜0，则ax＞1.当a＞1时，若0＜x＜1，则logax＜0，若x＞1，则logax＞0；当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则logax＞0，若x＞1，则logax＜0.如本例中，首先可知f(3)＝a3＞0，然后由loga3＜0可知0＜a＜1.【成功破障】若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()解析：由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．所以0＜a＜1，－1＜－b＜0，故0＜b＜1.因为0＜a＜1，所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A、B.因为0＜b＜1，函数g(x)＝ax＋b的值域为(b，＋∞)，所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.答案：D