第四章(数字滤波器的原理和设计方法)

第4444章数字滤波器的原理和设计�主要内容：�4.14.14.14.1引言�4.2IIR4.2IIR4.2IIR4.2IIR数字滤波器的基本网络结构�4.3FIR4.3FIR4.3FIR4.3FIR数字滤波器的基本网络结构�4.4IIR4.4IIR4.4IIR4.4IIR数字滤波器的设计方法�4.5IIR4.5IIR4.5IIR4.5IIR数字滤波器的频率变换�4.6FIR4.6FIR4.6FIR4.6FIR数字滤波器的设计方法�4.7FIR4.7FIR4.7FIR4.7FIR数字滤波器与IIRIIRIIRIIR数字滤波器的比较4.14.14.14.1引言（IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction）�4.1.14.1.14.1.14.1.1滤波原理对输入信号起到滤波作用。对线性非移变系统((((如图4.14.14.14.1所示))))，有：线性非移变系统的滤波作用�一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统，可用差分方程、脉冲响应hhhh((((nnnn))))、传输函数HHHH((((zzzz))))及频率响应HHHH((((eeeejjjjω))))来描述数字滤波器的描述方法�4.1.24.1.24.1.24.1.2滤波器的实现方法�模拟滤波器（AnalogFilter-AFAnalogFilter-AFAnalogFilter-AFAnalogFilter-AF）：�只能硬件实现－RRRR、LLLL、CCCC、OpOpOpOp、开关电容。�数字滤波器（DigitalFilter-DFDigitalFilter-DFDigitalFilter-DFDigitalFilter-DF）：�硬件实现－延迟器、乘法器和加法器；�软件实现－线性卷积的程序。�4.1.34.1.34.1.34.1.3滤波器的分类�(1)(1)(1)(1)一般分为经典滤波器和现代滤波器：�经典滤波器：假定输入信号中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带。如果信号和噪声的频谱相互重迭，经典滤波器无能为力。�现代滤波器：从含有噪声的时间序列中估计出信号的某些特征或信号本身。现代滤波器将信号和噪声都视为随机信号。包括WienerFilterWienerFilterWienerFilterWienerFilter、KalmanFilterKalmanFilterKalmanFilterKalmanFilter、线性预测器、自适应滤波器等。�(2)(2)(2)(2)经典滤波器从功能上分：低通(LP)(LP)(LP)(LP)、高通(HP)(HP)(HP)(HP)、带通(BP)(BP)(BP)(BP)、带阻(BS)(BS)(BS)(BS)，均有AFAFAFAF和DFDFDFDF之分。AFAFAFAF和DFDFDFDF的四种滤波器的理想幅频响应如下图所示。�(3)(3)(3)(3)从设计方法上分：�AFAFAFAF：ButterworthFilterButterworthFilterButterworthFilterButterworthFilter，ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshevFilterFilterFilterFilter，EllipseFilterEllipseFilterEllipseFilterEllipseFilter，BesselFilterBesselFilterBesselFilterBesselFilter；�DFDFDFDF：FIRFIRFIRFIR－根据给定的频率特性直接设计；IIRIIRIIRIIR－利用已经成熟的AFAFAFAF的设计方法设计。�4.1.54.1.54.1.54.1.5数字滤波器的基本运算��基本运算：相乘，延迟，相加；��表示方法：线性差分方程、系统函数、框图或流图。��差分方程：��系统函数：∑∑==−+−=MkkNkkknxbknyany01)()()()()(1)(10zXzYzazbzHNkkkMkkk=−=∑∑=−=−基本运算的方框图及流图表示图实现方法：IIR：N阶IIR，常采用递归结构；FIR：N阶FIR，常采用非递归结构4.2IIR4.2IIR4.2IIR4.2IIR数字滤波器的基本网络结构�无限脉冲响应（IIR）滤波器有以下特点�(1)系统的单位脉冲响应是无限长的；�(2)系统函数在有限z平面上有极点存在；�(3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归的。�4.2.14.2.14.2.14.2.1直接IIII型�H(z)=H1(z)H2(z)N阶IIR滤波器的直接I型流程图�直接IIII型，先实现H1(Z)H1(Z)H1(Z)H1(Z)，再实现H2(Z)H2(Z)H2(Z)H2(Z)。�特点：先实现系统函数的零点，再实现极点；需要2N2N2N2N个延迟器和2N2N2N2N个乘法器。10()MkkkHzbz−==∑211()1NkkkHzaz−==−∑�4.2.24.2.24.2.24.2.2直接IIIIIIII型10()MkkkHzbz−==∑211()1NkkkHzaz−==−∑当IIR数字滤波器是线性非移变系统时，有：�H(z)=H1(z)H2(z)�=H2(z)H1(z)直接IIIIIIII型，先实现H2(Z)，再实现H1(Z)。特点：先实现系统函数的极点，再实现零点；需要N个延迟器和2N个乘法器。N阶IIR滤波器的直接II型流程图。�例设IIR数字滤波器的系统函数为)21)(41(21148)(223+−−−+−=zzzzzzzH解：先将H(z)写成z-1的多项式形式321321814345121148)(−−−−−−−+−−+−=zzzzzzzH)3(81)2(43)1(45)3(2)2(11)1(4)(8)(−+−−−+−−−+−−=nynynynxnxnxnxny将其再写成差分方程的型式根据上面差分方程，立即画出直接Ⅱ型结构如图所示。当然，可直接由H(z)画出直接Ⅱ型结构。直接Ⅱ型网络结构�4.2.34.2.34.2.34.2.3级联型采用级联形式H(z)方框图�基本结构：二阶基本节，““““田字型””””结构。�特点：�1111、二阶基本节搭配灵活，可调换次序；�2222、可直接控制零极点；�3333、误差较大，较耗时。使用直接Ⅱ型的级联结构�4.2.44.2.44.2.44.2.4并联型IIR滤波器并联结构图H(z)=H1(z)+H2(z)+…+HK(z)�基本结构：一阶基本节和二阶基本节。�特点：�1111、可单独调整极点，不能直接控制零点；�2222、误差小，各基本节的误差不相互影响；�3333、速度快。�4.3FIR4.3FIR4.3FIR4.3FIR数字滤波器的基本网络结构�FIRFIRFIRFIR数字滤波器是一种非递归结构，其冲激相应是有限长序列。�FIRFIRFIRFIR系统仅在处有N-1N-1N-1N-1阶极点，在其它地方没有极点，有(N-1)(N-1)(N-1)(N-1)个零点分布在有限ZZZZ平面内的任何位置上。10()()NkkHzhnz−−==∑4.3.14.3.14.3.14.3.1直接型∑−=−=10)()()(Nkknxkhny差分方程：系统函数：FIR滤波器直接型结构1012(1)()()(0)(1)(2)...(1)NkkNHzhnzhhzhzhNz−−=−−−−==++++−∑�4.3.24.3.24.3.24.3.2级联型�将H(zH(zH(zH(z))))写成几个实系数二阶因式的乘积可得到另一种形式：�系统函数：10120121()()()NkkMkkkkHzhnzzzβββ−−=−−===++∑∏�特点：�1111、每一个基本节控制一对零点；�2222、乘法器较多�4.3.34.3.34.3.34.3.3快速卷积型�已知两个长度为NNNN的序列的线性卷积，可用2N-12N-12N-12N-1点的循环卷积来代替。FIRFIRFIRFIR滤波器输出：�①将x(nx(nx(nx(n))))和h(nh(nh(nh(n))))都延长到NNNN点；�②计算x(nx(nx(nx(n))))的NNNN点DFTDFTDFTDFT，即：X(K)=X(K)=X(K)=X(K)=DFT[x(nDFT[x(nDFT[x(nDFT[x(n)])])])]；�③计算h(nh(nh(nh(n))))的NNNN点DFTDFTDFTDFT，即：H(K)=H(K)=H(K)=H(K)=DFT[h(nDFT[h(nDFT[h(nDFT[h(n)];)];)];)];�④计算YYYY((((kkkk)=)=)=)=XXXX((((kkkk))))×HHHH((((kkkk))))；�⑤计算的反变换，即：yyyy((((nnnn)=)=)=)=IDFTIDFTIDFTIDFT[[[[XXXX((((kkkk))))×HHHH((((kkkk)])])])]()()()ynxnhn=∗FIR滤波器快速卷积型结构图特点：能对信号进行高速处理。需要实时处理时采用此结构。�4.3.44.3.44.3.44.3.4线性相位型�FIRFIRFIRFIR数字滤波器的主要特性之一就是可以设计成严格线性相位特性。可以证明线性相位FIRFIRFIRFIR滤波器的单位脉冲响应hhhh((((nnnn))))应该满足下面条件hhhh((((nnnn)=)=)=)=±±±±hhhh((((NNNN-1--1--1--1-nnnn))))�式中h(nh(nh(nh(n))))为实序列，NNNN是h(nh(nh(nh(n))))的长度。�设取偶数偶对称NnNhnh,)1()(−−=∑∑∑−=−−=−−=−+==1212010)()()()(NNnnNnnNnnznhznhznhzH令m=N-1-n1122(1)001122(1)00()()(1)=()(1)NNnNmnmNNnNnnnHzhnzhNmzhnzhNnz−−−−−−==−−−−−−===+−−+−−∑∑∑∑考虑�线性相位FIRDFFIRDFFIRDFFIRDF的网络结构4.4IIR4.4IIR4.4IIR4.4IIR数字滤波器的设计方法�IIRIIRIIRIIR数字滤波器的设计方法�1.1.1.1.技术指标�数字滤波器的传输函数：H(ejω)=|H(ejω)|ejω�图表示低通滤波器的幅度特性，ωp和ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为0≤ω≤ωp数字低通滤波器的技术要求�2.2.2.2.设计步骤�①根据实际需要给定滤波器的技术指标；�②由技术指标计算滤波器的系统函数H(Z)H(Z)H(Z)H(Z)或单位�取样响应h(nh(nh(nh(n))))，即用一个稳定的因果系统逼近这些指标；�③用有限精度的运算实现H(Z)H(Z)H(Z)H(Z)或h(nh(nh(nh(n))))，包括选择运算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长。4.4.14.4.14.4.14.4.1冲激响应不变法�2.2.2.2.冲激响应不变法设计数字滤波器的设计步骤；3.冲激响应不变法的应用范围能够设计的滤波器：LP；4.4.24.4.24.4.24.4.2双线性变换法�1.1.1.1.双线性变换法设计数字滤波器�s平面上Ω与z平面的ω成非线性正切关系�在ω=0附近接近线性关系；当ω增加时，Ω增加得愈来愈快；当ω趋近π时，Ω趋近于∞。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。双线性变换法的频率变换关系�如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸变，转换关系为21tan()221tan()2PPSSTTωωΩ=Ω=�双线性变换是一种稳定的变换。(1)双线性变换是简单映射；(2)双线性变换是稳定的变换；即模拟滤波器在s平面左半平面的所有极点经映射后均在z平面的单位园内。�2.2.2.2.双线性变换法设计数字滤波器的设计步骤；�模拟低通滤波器----双线性变换映射成数字低通滤波器----数字低通滤波器的频率响应。�3.3.3.