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正方形探索题1、如图1，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。(1)说明OE=OF的道理；(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。2、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BEEF，相交于点GH，时，如图3，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点GH，时（如图4），你在图3中得到的结论还成立吗？简要说明理由。图1图2ABGCEHFD图3ABGCEHFD图43、如图，将一把三角尺放在正方形ABCD上，并把它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线OC相交于点Q，探究：⑴当点Q在DC上时（图5），线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论⑵当点Q在DC的延长线上时（图6），⑴中观察到的结论还成立吗？说明理由。4、如图7，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图8，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为。②当点D在线段BC延长线上时，如图9，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动时。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（初二）（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．（初三）解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD图8图9图7图5图6∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º，AB=AC，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD（3）当具备∠BCA=45º时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4．设CD=x，∴DQ=4—x，容易说明△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ，∴44CPxx，221(2)144xCPxx．∵0＜x≤3∴当x=2时，CP有最大值1．5、(2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．.解：（1）成立．如图，把绕点顺时针，得到，图丁GABCDEF图戊PQABCDEF则可证得三点共线（图形画正确）证明过程中，证得：证得：（2）