金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案1.解:把t=0代入得A(0)=3于是:a(t)=A(t)/A(0)=（t2+2t+3）/3In=A(n)−A(n−1)=(n2+2n+3)−((n−1)2+2(n−1)+3))=2n+12.解:nn-1t11IA(n)A(t)IIIn(n1)/2t(t1)/2・・・(2)1t11IA(n)A(t)22nnkktI3.解:由题意得a(0)=1,a(3)=A(3)/A(0)=1.72⇒a=0.08,b=1∴A(5)=100A(10)=A(0)・a(10)=A(5)・a(10)/a(5)=100×3=300.4.解：(1)i5=(A(5)−A(4))/A(4)=5120≈4.17%i10=(A(10)−A(9))/A(9)=5145≈3.45%(2)i5=(A(5)−A(4))/A(4)544109109100(10.1)100(10.1)10%100(10.1)100(10.1)100(10.1)i(A10A9)/A910%100(10.1)5.解:A(7)=A(4)(1+i5)(1+i6)(1+i7)=1000×1.05×1.06×1.07=1190.916.解:设年单利率为i500(1+2.5i)=615解得i=9.2%设500元需要累积t年500(1+t×7.8%)=630解得t=3年4个月7.解:设经过t年后，年利率达到2.5%t14%t(12.5%)t≈36.3678.解:(1+i)11=(1+i)5+2*3=XY39.解:设实利率为i600[(1+i)2−1]=264解得i=20%∴A(3)=2000(1+i)3=3456元10.解:设实利率为i2111(1)(1)nnii解得(1+i)-n=512所以(1+i)2n=251()235211.解:由500×(1+i)30=4000⇒(1+i)30=8于是PV=204060100001000010000 (1i)(1i)(1i)=1000×24233(888)=3281.2512解:(1+i)a=2(1)(1+i)b=32(2)(1+i)c=5(3)(1+i)n=32(4)(4)⇒n・ln(1+i)=ln5−ln3(3)⇒ln5=c×ln(1+i)(1)×(2)⇒ln3=(a+b)・ln(1+i)故n=c−(a+b)13.解:A・i=336A・d=300i−d=i・d⇒A=280014.解:(1)d5=a5a4a5=10%1510%=6.67%(2)a-1(t)=1−0.1t⇒a(t)==110.1t⇒d5=a5a4a5=16.67%15.解:由(3)(4)3(4)3(3)(4)4(1)(1)344[1(1)]3idid由(6)(12)6(12)(12)(6)2(1)(1)6126[(1)1]12iddi16.解:(1)终值为100×(1+i(4)/4)4*2=112.65元(2)终值为100×[(1−4d(1/4))1/4]-2=114.71元17.解:利用1/d(m)−1/i(m)=1/m⇒m=818.解:aA(t)=1+0.1t⇒δA(t)AA11BA1Ba'(t)0.1a(t)10.1(a(t))'0.05a(t)10.05a(t)10.05Bttt由δA(t)=δB(t)得t=519.解:依题意，累积函数为a(t)=at2+bt+1a(0.5)=0.25a+0.5b+1=1.025a(1)=a+b+1=1.07⇒a=0.04b=0.03于是δ0.5=a'(0.5)0.068a(0.5)20.解:依题意，δA(t)=22t1t,B2(t)1t由AB(t)(t)⇒22t21t1t⇒t121．解：4 d8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。__________全部采用复利：38%(1d)1225PV5000(1d)4225.25前两年用复利：08%13d12240PV5000(1d)(1d)4225.4622．解：446%i6%i(1)16.14%4，则设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2282000(1i)2000(1i)X2000v5000v解得X=504.67元23．解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：55200500v400.94v0.40188解得所以105P100(1i)120(1i)917.76224．解：tt100016%2100014%解得：t=36年25．解：列价值方程为n2n100v100v100解得n=6.2526．解：t16t，得基金B的积累函数为2B0sta(t)exp(ds)exp()12t欲使ABa(t)a(t)则21212t1t(1i)exp()1212解得t=1.427解：1000(1+i)15=3000则21i((1i)1)27.46%228．解：列价值方程为2300(1i)200(1i)100700解得i=11.96%29．解：tkt则积累函数为20ka(t)expksdsexp(t)2t由a(10)=2得50ke2解得k=0.013930．解：(1+i)3+(1−i)3=2.0096解得i=0.0431.解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.解：设半年实利率为i'，则有：'15(1i')13.6528(1i)解得: i'0.05故：2i(1i')10.102533.解：价值方程：正常:-1231000100(1j)100(1j)1000(1j)转让:12960100(1k)1000(1k)解得：j=6.98%,k=7.4%从而:jk34.解：和δ等价的年利率ie1,年利率变化：2eeee1和δ等价的年贴现率-1ed,年贴现率变化：--2--eee1e35．证明：22d00di1limlim2i证：22d0000d111limlimlimlim222eee22d0000111limlimlimlim222ieee36.解:设货款为S,半年实利率为i',则有：0.7S(1i')0.75S解得：1i'1.0714故2i(1i')114.80%37．解：1)单利方式：X1(1+(1−t)i)=12)复利方式：X2(1+i)1-t=13)单利方式：3(1ti)X1i由Taylor展开易证：1-tt123(1i)1(1t)i(1i)1itXXX故38．解：设基金A,B的本金为A,B10101010A(10.06)B(10.08)1000A(10.06)0.05B(10.08)解得：55A(10.06)498.17B(10.08)907.44从而5年底的累积值和=1405.6139．解:设第二年的实利率i2,由题意：i1=d2=22i1i从而：2122212i1000(1i)(1i)1000()(1i)12001i解得：i2=0.1，进而i1=11140.解：2-1i21)P1000100(1)95238.0955(2)1012Pi5dPdi222210 ()(2i)3）2(||)didP2i10%|4.5351104即波动范围：95238.095±453.5141．解：1jj1'(m)(1)ln(1),j0,m0,'(m)0mmffmm2)令y=ln(1+j)/m,则原式化为：ye1ln(1j)(j0)y由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000651.72sssSsXX2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有48|1.5%1000250Xa解得X=1489.363．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解：22|1(1)1(1)nnnninvnnnPVnannn4．解：2(1)nnnnaaad则11()nYXdX5．已知：711185.58238,7.88687,10.82760aaa。计算i。解：718711aaav解得i=6.0%6.证明：10101 110savs证明：1010101010(1)111(1)11isaiiisvi7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：8p]3%20]3%1001002189.716aaPV8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%asX￢解得X=8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a。解：d=10%，则88]111191(1)5.6953idvaii10.求证：]]]]112?1(1)nnnnnnaavssi；并给出两等式的实际解释。证明：(1)]111¨11nnnnnvvvavidii所以]]¨1nnnaav(2)]1(1)1(1)1(1)1¨(1)1nnnnniiiiisidi所以]]¨1(1)nnnasi12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49】1.5%−100a2]1.5%=3256.88AV=100s49]1.5%−100s2]1.5%￢=6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：1012v，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有101030]30]10]?10]??iiivivaaYaYa所以10301030321.812vvYvv14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2]]]233626nininniaaav解得i=8.33%15.已知7]3]]11]]]XYZaasaas。求X，Y和Z。解：由题意得73111(1)1(1)XZYvivviv解得X=4,Y=7,Z=416.化简153015](1)avv。解：153015]45](1)avva17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000