第4章 多元函数微积分学

1第四章多元函数微积分学2考试内容1.多元函数的概念•邻域:,),(0δPU),(0δPUo•(开)区域连通的开集...边界点内点外点若点集E的点都是内点,则称E为开集.若集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,则称E是连通的.E开区域连同它的边界一起称为闭区域.3xyo用不等式(组)表示区域:}0|),{(+yxyxxyoab)(xfy=)(xgy=})()(,|),{(xfyxgbxayxD≤≤≤≤=X-型4用不等式(组)表示区域:)}()(,|),{(xxxdycyxDϕψ≤≤≤≤=dcxyo)(yxϕ=)(yxψ=Y-型52.二元函数的几何意义二元函数),(yxfz=的图形是空中的一张曲面.•n元函数:,),,,(21nxxxfuL=.RnD⊂63.二元函数的极限与连续的概念•极限),(lim),(),(00yxfyxyx→若存在,则沿任何线路极限都存在且相等;,),(lim0Ayxf=→ρ,),(lim00Ayxfyyxx=→→,),(lim),(),(00Ayxfyxyx=→.)()(2020yyxx−+−=ρ其中反之,若沿不同的线路得到不同的极限,则原极限不存在.(此结论常用于证明极限不存在)7•连续4.有界闭区域上二元连续函数的性质有界定理,最值定理,介值定理.一切多元初等函数在其定义区域内连续.5.多元函数偏导数的概念与计算xyxfyxxfyxfxxΔ−Δ+=′→Δ),(),(lim),(00000000),(dd0xxyxfx==本质上仍然是一元函数求导数,故一元函数中的求导公式,求导法则都适用于求偏导数.),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx=→86.二阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx′′=∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(22yxfyzyzyyy′′=∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂),,(2yxfyxzxzyxy′′=∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(2yxfxyzyzxyx′′=∂∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂若二阶混合偏导数xyz∂∂∂2及yxz∂∂∂2在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.9多元函数连续、可偏导与可微的关系可微连续连续的偏导数可偏导7.全微分如果),(),(0000yxfyyxxfz−Δ+Δ+=Δ可以表示为)(22yxoyBxAzΔ+Δ+Δ+Δ=Δ,其中BA,与yxΔΔ,无关.),(yxfz=的全微分计算公式:yyfxxfzddd∂∂+∂∂=.108.多元复合函数的求导法与隐函数求导法•全导数公式•链导公式,xvvzxuuzxz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.yvvzyuuzyz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,),,(vuxfz=若,),(yxuϕ=则,),(yxvψ=,xvvzxuuzxfxz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂.yvvzyuuzyz∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,),(vufz=若,),(yxuϕ=则,),(yxvψ=(1)(2)注意xz∂∂xf∂∂与的区别.11•隐函数求导法设方程0),,(=zyxF确定了z为关于x与y的函数),(yxzz=,欲求xz∂∂和yz∂∂.方法一:.,zyzxFFyzFFxz′′−=∂∂′′−=∂∂方法二:(公式法)当时,0≠′zF方程两边关于x或y求偏导数;129.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值令0,0=′=′yxff,得到驻点),(000yxM,若02−ACB,有极值,且当0A时有极大值,当0A时有极小值;若02−ACB,没有极值;若02=−ACB,需另作讨论.,),(00yxfBxy′′=,),(00yxfAxx′′=.),(00yxfCyy′′=记),(yxfz=•二元函数的极值求法13求),(yxfz=在约束条件0),(=yxϕ下的极值.(拉格朗日乘数法)•条件极值构造拉格朗日函数,),(),(),,(yxyxfyxFλϕλ+=求出极值可能点,再根据具体问题判断.,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧==′=+=′=+=′yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxxϕλϕλϕλ令其中λ为参数,称为拉格朗日乘数.如果目标函数是三元函数),,(zyxfu=,且约束条件有两个:则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),,,,(zyxzyxzyxfzyxLψμλϕμλ++=,0),,(=zyxϕ,0),,(=zyxψ1410.二重积分的概念、基本性质和计算•二重积分的概念∑=→Δ=nkkkkfI10),(limσηξλ∫∫=Dyxfσd),(记作直角坐标系下,面积元素.yxddd=σ极坐标系下,面积元素.ρθρσddd=∫∫∫∫⋅=DDrrrrfyxyxfθθθdddd)sin,cos(),(1511.无界区域上简单的反常二重积分•二重积分的性质与一元函数定积分的性质完全类似.•二重积分的计算将二重积分转化成累次积分.16考试要求1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题.2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.17典型例题分析例1已知设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0((,0,)00(,),(22))(x,y,x,yyxxyyxf讨论),(yxf在)0,0(处的连续性、可偏导性和可微性.解先考察),(yxf当)0,0(),(→yx时的极限.因此,当)0,0(),(→yx时,22yxxy+无极限,故),(yxf在)0,0(处不连续；,01limlimlim2022220220≠+=+=+→→=→kkxkxkxyxxyxxkxyx18⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0((,0,)00(,),(22))(x,y,x,yyxxyyxf再用定义求),(yxf在)0,0(处的偏导数，同理,0)0,0(=′yf；xfxffxxΔ−Δ+=′→Δ)0,0()0,0(lim)0,0(0;00lim0=Δ=→Δxx),(yxfΔΔ=yfxffyxfzyxΔ′−Δ′−−Δ+Δ+=Δ)0,0()0,0()0,0()0,0(,)(22yxoΔ+Δ≠22yxyxΔ+ΔΔΔ=最后考察可微性:19最后一步是因为,若0≠k,则所以),(yxf在)0,0(处不可微.||)1(lim222023xxkxkxΔ⋅Δ+Δ=→Δ,∞=22220limyxyxyxxkyxΔ+ΔΔ+ΔΔΔΔ=Δ→Δ实际上,可微一定连续,不连续当然不可微.20解法101lim1100=+=→→xyyx原式解法2令,xky=01lim0=+=→kkxx原式解法3令,sin,cosθθryrx==0sincossincoslim0=+=→θθθθrr原式例2讨论二重极限yxyxyx+→→00lim时,下列算法是否正确?21分析:yxyxyx+→→00lim解法101lim1100=+=→→xyyx解法2令,xky=,01lim0=+=→kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.××时例如xxy−=21lim2230−=−=→xxxx原式此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,,1,,111=+=−xyxxy时例如22解法3令,sin,cosθθryrx==0sincossincoslim0=+=→θθθθrr原式此法忽略了θ的任意性,×时当4,0πθ−→→r)sin(2sincossincossincos4θθθθθθθπ+=+rr极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,θ的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.23解.)(lim22)0,0(),(yxxxyyx+−→求极限)0(,sin,cos==ρθρθρyx令.0)0,0(),(→→ρ等价于则yxρθθθρcos)cos(sin)(0222−=+−≤yxxxyθθθρcos)cos(sin−=),0(02→→≤ρρ.0)(lim22)0,0(),(=+−→yxxxyyx例3故由夹逼准则知24设∫−=xyttyxf02),(de,求222222yfxyyxfxfyx∂∂+∂∂∂−∂∂.例4解,22yxyxf−=∂∂e,22yxxyf−=∂∂e,222322yxxyxf−−=∂∂e,222322yxyxyf−−=∂∂e,)21(22222yxyxyxf−−=∂∂∂e.222222222yxyfxyyxfxfyx−−=∂∂+∂∂∂−∂∂e所以25例5解)1(213xfxfxyz′+′=∂∂,2214fxfx′+′=)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz′′+′′+′′+′′=∂∂,222123115fxfxfx′′+′′+′′=xyzyxz∂∂∂=∂∂∂22)]([2)]([4222212221211413xyfyfxfxxyfyfxfx−′′+′′+′+−′′+′′+′=.2422114213fyfyxfxfx′′−′′+′+′=.,,:)(,),(2223yxzyzyzfxyxyfxz∂∂∂∂∂∂∂=求，具有二阶连续偏导数设26由方程04222=−++zzyx确定隐函数),(yxzz=,求22xz∂∂.视z为yx,的函数),(yxzz=,方程两边关于x求偏导,例6解法一222)2(2zzxzxzx−′+−=∂∂∴.)2()2(322zxz−+−=,0422=∂∂−∂∂+xzxzzx,2zxxz−=∂∂⇒解法二(公式法)设zzyxzyxF4),,(222−++=则,2xFx=zxFFxz−=∂∂∴2−−=zx.2zx−=42−=zFz27例7设),(yxzz=是由方程0e=+−−−−xyzxxyz确定的隐函数,求zd.解两边微分,,0)(=−−++−−−−−−xyzxxxyzxyzxyzdddededdd.ddeedyxxxzxyzxyz++−+=−−−−1)1(1解得例8设2),,(yzzyxfxe=,其中),(yxzz=是由方程0=+++xyzzyx确定的隐函数,求)1,1,0(−′xf.将方程两边对x求偏导，将坐标)1,1,0(−代入,得0)1,1,0(=−′xz,再代入上式,得1)1,1,0(=−′xf.得01=′++′+xxzxyyzz，解,22xzyzyzfxxx∂∂+=′ee28解方程两边对x求导,得=∴xzdd)0(23≠′+′′FFfx其中.23221FFfxFffFxfFx′−′′−′−′′−′′=32121FFfxFFfxffx′′′−′−′′+′−例9设其中f与F分别具有一,0),,(,)(=+=zyxFyxfxz阶导数或偏导数,求.ddxz=xzdd⋅′fx+′1F+f)dd1(xy++′xyFdd20dd3=′xzFfxfxzxyfx′+=+′−dddd132ddddFxzFxyF′−=′+′即29求二元函数)4(2yxyxz−−=在由直线6=+yx、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值与最值.由⎪⎩⎪⎨⎧=−−=′=−−=′024023823222yxxxzxyyxxyzyx解得D内部唯一驻点)1,2(,其它点均在边界上,不是驻点,故)1,2(为z的极大值点，极大值4)1,2(=f；例10解,06)268()1,2()1,2(2−=−−=′′=yxyyzAxx,4)438()1,2()1,2(2−=−−=′′=xyxxzBxy,8)2()1,2()1,2(2−=−=′′=xzCyy,0322−=−=ΔACB6=+yxoxyD30在D的边界上,不可能取极值,故