第25讲 锐角三角函数及解直角三角形

宇轩图书目录第25讲锐角三角函数及解直角三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点一锐角三角函数定义若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____.温馨提示：（1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的.（2）sinA,cosA,tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位.（3）锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关.acbcab考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页（4）当A为锐角时，0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0.考点二特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页温馨提示：对于特殊角30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，可结合以上图表及定义记忆.2.30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1、2、3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3、2、1，余弦值随角度的增大而减小.3.30°、60°角的正切值互为倒数，都和3有关，45°角的正切值是1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点三用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角1．求已知锐角的三角函数值方法：将角度单位状态设定为“度”(屏幕显示D)，按所求函数的书写顺序去按键．2．由锐角三角函数值求锐角在屏幕显示D状态下，按“SHIFT”键再按相应函数及数值．考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页考点四解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系：___________；(2)两个锐角之间的关系：；a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°考点知识精讲宇轩图书上一页下一页首页(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.(1)互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA.(2)同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1;②tanA=中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页(1)(2011·武汉)sin30°的值为________．(2)(2011·温州)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()【点拨】本组题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值．A.513B.1213C.512D.135(3)（2010·江西）计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________(结果保留根号)．中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页【解答】(1)12sin30°＝12.(2)AsinA＝BCAB＝513，故选A.(3)－312原式＝12×32－33＝－312.中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页【点拨】计算三角函数值的关键是掌握并熟练运用特殊角的三角函数，而解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式，选择的标准是关系式中既包括已知量又包括未知量．(1)（2011·兰州）已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝35.求①DE、CD的长；②tan∠DBC的值．中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页【解答】(1)∵sin(α＋15°)＝32＝sin60°，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°.∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3.(2)①∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cosAB＝AEAD，即6AD＝35，∴AD＝10.根据勾股定理得DE＝AD2－AE2＝102－62＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC＝DE＝8.②∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cosA＝ACAB，即18AB＝35，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝AB2－AC2＝302－182＝24.∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝DCBC＝824＝13.中考典例精析宇轩图书上一页下一页首页方法总结：在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：(1)求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角函数；(2)求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；(3)求某些未知量的途径往往不唯一.选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算应避免除法计算.举一反三宇轩图书上一页下一页首页1．在Rt△ABC中，各边的长都扩大了3倍，那么锐角A的正弦值()A．扩大了3倍B．缩小了3倍C．没有变化D．不能确定答案：C答案：C2．计算tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是()A．2B.3C.2D．13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanB＝________.()A.43B.34C.35D.45答案：B举一反三宇轩图书上一页下一页首页4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_______.5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于_______.1222考点训练宇轩图书上一页下一页首页锐角三角函数及解直角三角形训练时间：60分钟分值：100分考点训练宇轩图书上一页下一页首页一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011·黄冈)cos30°＝______.()【答案】CA.12B.22C.32D.3【解析】cos30°＝32.考点训练宇轩图书上一页下一页首页2．(2010中考变式题)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变【解析】在直角三角形中，∠A的正弦是∠A的对边与斜边的比值，当∠A固定时，其正弦值也是一个固定值，所以当直角三角形各边都扩大2倍时，其比值不变，故选D.【答案】D考点训练宇轩图书上一页下一页首页3．(2012中考预测题)在Rt△ABC中，已知sinA＝32，则锐角A的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】∵sinA＝32，而sin60°＝32，∴∠A＝60°.【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页4．(2011·宁波)如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h·sinα【解析】由sinα＝hl得l＝hsinα.【答案】A考点训练宇轩图书上一页下一页首页5．(2010中考预测题)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为()A.55B.255C.12D．2【解析】观察图形，cos∠AOB＝15＝55.【答案】A考点训练宇轩图书上一页下一页首页6．(2012中考预测题)在△ABC中，若|sinA－22|＋(32－cosB)2＝0，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是()A．70°B．90°C．105°D．120°【解析】由题意得sinA＝22＝0，32－cosB＝0，解得sinA＝22，cosB＝32.∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝105°.【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页7．(2011·桂林)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sinA的值为()A.34B.43C.35D.45【解析】由勾股定理知AB＝BC2＋AC2＝32＋42＝5，∴sinA＝BCAB＝35.【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页8．(2012中考预测题)若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，则它的面积为()A．2cm2B.3cm2C.32cm2D．23cm2【解析】易求得菱形的高为32，∴S菱形＝1×32＝32(cm2)．【答案】C考点训练宇轩图书上一页下一页首页9．(2011·荆州)在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是()A.51714B.35C.217D.2114考点训练宇轩图书上一页下一页首页【解析】如图所示，过C作CD⊥BA交BA的延长线于D.在Rt△ACD中，∠DAC＝180°－120°＝60°，AC＝2，∴AD＝1，CD＝3.在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝BA＋AD2＋CD2＝52＋32＝28＝27，∴sinB＝CDBC＝327＝3×72×7×7＝2114.【答案】D考点训练宇轩图书上一页下一页首页10．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于()A.34B.43C.35D.45考点训练宇轩图书上一页下一页首页【解析】如图所示，连接BD.由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90°.∴tanC＝BDCD＝43.【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页11.(2012中考预测题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD.若⊙O的半径r＝32，AC＝2，则cosB的值是()A.32B.53C.52D.23考点训练宇轩图书上一页下一页首页【解析】∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，AD＝3.又AC＝2，∴cosD＝DCAD＝32－223＝53.在⊙O中，cosB＝cosD＝53.【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页12.(2012中考预测题)如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，如果PC＝6，那么PD等于()A．4B．3C．2D．1【解析】过点P作PE⊥OA于点E.∵OP平分∠AOB，PD⊥DB，∴PE＝PD.在Rt△PCE中，∠ACP＝∠AOB＝30°，PC＝6，∴PD＝PE＝12PC＝3.【答案】B考点训练宇轩图书上一页下一页首页二、填空题(每小题4分，共24分)13．(2010中考变式题)12－2sin60°＋(π－1)0＝________.【解析】原式＝23－2×32＋1＝23－3＋1＝3＋1.【答案】3＋1考点训练宇轩图书上一页下一页首页14．(2012中考预测题)如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝45，则AC＝________.【解析】∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD.在Rt△DAC中，cos∠CAD＝ADAC，∴AC＝ADcos∠CAD＝ADcosB＝445＝5.【答案】5考点训练宇轩图书上一页下一页首页15．(2011·哈尔滨)已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．【解析】由题意可知：点P有下列两种位置关系，如图所示.由图①所示，tan∠BPC＝BCPC＝21＝2.由图②所示，tan∠BPC＝BCPC＝22＋1＝23.【答案】2或23考点训练宇轩图书上一页下一页首页16．(2011·绥化)已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为______________cm2.【解析】如图①所示，BD＝202－102＝103，CD＝302－102＝202，∴S△ABC＝12(103＋202)×10＝1002＋503.考点训练宇轩图书上一页下一页首页如图②所示，CD＝202，BD＝