2011届高三数学二轮复习-专题3第2讲数列求和及综合应用

第2讲数列求和及综合应用要点知识整合1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12·d＝na1＋an2.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝a11－qn1－q.2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．题型一裂项相消求和热点突破探究典例精析例1设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；2)若数列{1anan＋1}的前n项和为Tn，问满足Tn100209的最小正整数n是多少？【解】(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)．所以数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以an＝2n－1.(2)Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n－12n＋1＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1，由Tn＝n2n＋1100209，得n1009，所以满足Tn100209的最小正整数n为12.【题后拓展】本题的难点是数列求和中的裂项相消法，即将1anan＋1＝12n－12n＋1变形为1anan＋1＝12(12n－1－12n＋1)，再迭代求和，求和时易错的地方，一是忽略系数，二是保留项不对．变式训练1．(2010年山东高考卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4n＋1，所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.题型二错位相减法求和例2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋1n)an＋n＋12n.(1)设bn＝ann，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解】(1)由已知得b1＝a1＝1，且an＋1n＋1＝ann＋12n，即bn＋1＝bn＋12n，从而b2＝b1＋12，b3＝b2＋122，…bn＝bn－1＋12n－1(n≥2)．于是bn＝1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n≥2)．又b1＝1适合上式，∴数列{bn}的通项公式bn＝2－12n－1.(2)由(1)知，an＝nbn＝2n－n2n－1.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(2×2－22)＋…＋(2n－n2n－1)＝2(1＋2＋…＋n)－(120＋221＋322＋…＋n2n－1)．记Tn＝120＋221＋322＋…＋n2n－1.则12Tn＝121＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，两式相减得，12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n.∴Tn＝4－n＋22n－1.∴Sn＝2×nn＋12－(4－n＋22n－1)＝n2＋n－4＋n＋22n－1.【题后拓展】用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形要值得注意．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这种情况在以前的高考中经常考查．2．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anSn}的前n项和；(3)求使不等式an≥116成立的n的集合．变式训练解：(1)设等比数列{an}的公比是q，因为a1＋2a2＝0，且a1≠0，所以q＝a2a1＝－12.因为S4－S2＝18，所以a11－q41－q－a1(1＋q)＝18，将q＝－12代入上式，解得a1＝1，所以an＝a1qn－1＝(－12)n－1(n∈N*)．(2)由于an＝(－12)n－1，Sn＝23[1－(－12)n]，∴anSn＝23[(－12)n－1＋(12)2n－1]，故a1S1＋a2S2＋…＋anSn＝89－49·(－12)n－49·(14)n.(3)由(－12)n－1≥116，得n只能为奇数，并且n≤5，∴原不等式成立的n的集合为{1,3,5}．题型三数列与不等式例3设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，点(Sn＋1，Sn)在直线xn＋1－yn＝1(n∈N*)上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝SnSn＋1＋Sn＋1Sn－2，求证：43≤T1＋T2＋T3＋…＋Tn3.【解】(1)∵(Sn＋1，Sn)在直线xn＋1－yn＝1上，∴Sn＋1n＋1－Snn＝1，∴{Snn}构成以S1＝a1＝2为首项，公差为1的等差数列，∴Snn＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，而a1＝2，即当n＝1时也成立，∴an＝2n(n∈N*)．(2)证明：∵Sn＝n2＋n，∴Tn＝nn＋2＋n＋2n－2＝1－2n＋2＋1＋2n－2＝2n－2n＋2.∵n∈N*时，Tn＝4nn＋20，∴T1＋T2＋…＋Tn≥T1＝43(n＝1时取等号)．∴T1＋T2＋…＋Tn＝2[(1－13)＋(12－14)＋…＋(1n－1n＋2)]＝3－2n＋1－2n＋23.【题后拓展】常见的证明不等式的方法：(1)作差法(与0比较)；(2)作商法(与1比较)；(3)综合法；(4)分析法；(5)反证法；(6)放缩法．3．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项的和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．变式训练解：(1)由题意2a1q2＝a1q＋a1，解得q＝1或q＝－12.(2)若q＝1，则bn＝n＋1，Sn＝12n2＋32n，当n≥2时，Snbn，若q＝－12，则bn＝－12(n－5)，Sn＝－14(n2－9n)，Sn－bn＝－14(n－1)(n－10)；当2≤n≤9时，Snbn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Snbn.题型四数列的实际应用例4(本题满分12分)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用bn表示该企业第n年的产值．设a1＝a(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a万元；又设b1＝b(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用Pn＝anbn100ab表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?【规范解答】(1)∵a1＝a，b1＝b，Pn＝anbn100ab，∴P1＝a1b1100ab＝1%，P2＝a2b2100ab＝3a×1.1b100ab＝3.3%.3分故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%......5分(2)由题意得，数列{an}是以a为首项，以2a为公差的等差数列，数列{bn}是以b为首项，以1.1为公比的等比数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝a＋(n－1)·2a＝(2n－1)a，bn＝b1(1＋10%)n－1＝1.1n－1b……7分又∵Pn＝anbn100ab，∴Pn＝2n－1×1.1n－1ab100ab＝2n－1×1.1n－1100.∵Pn＋1Pn＝2n＋12n－1×1.1＝(1＋22n－1)×1.11，∴Pn＋1Pn，即Pn＝2n－1×1.1n－1100单调递增……9分又∵P6＝11×1.15100≈17.72%20%，P7＝13×1.16100≈23.03%20%.故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%......12分【思维升华】数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式．适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证．4．由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么广告费用n万元比广告费用(n－1)万元时的销售量多b×12n件(n∈N*)．(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝40000时公司应做几万元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？变式训练解：(1)设不做广告宣传销售量为S0，广告费用n万元时的销售量为Sn，依题意Sn－Sn－1＝b×12n，n∈N*，所以Sn＝b(1＋12＋122＋…＋12n)＝b(2－12n)．(2)Sn＝40000(2－12n)，设获利为Tn元，则有Tn＝10·Sn－10000n＝400000(2－12n)－10000n，Tn＋1－Tn＝10000×[40(12n－12n＋1)－1]＝10000×(202n－1)，当202n－10时，n≤4；当202n－10时，n≥5，即数列{Tn}先增后减，T1T2T3T4T5，T5T6T7…，所以n＝5时，Tn最大，此时Sn＝78750.即该厂家应做5万元的广告，销售量为78750件时，能使获利最大．例方法突破在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{1an}是否成等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】(1)由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝n1＋3n－22＝n3n－12.(3)将an＝1bn＝13n－2代