搜索
熟记基本导数公式/掌握两个函数和、差、积、商的求导法则/了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数第68课时导数的运算1．常见函数的导数公式(1)C′＝0；(2)(xn)′＝nxn－1；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(lnx)′＝；(6)(logax)′＝logae；(7)(ex)′＝ex；(8)(ax)′＝axlna.2．求导法则(1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；(2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；(3)[Cu(x)]′＝Cu′(x)；(4)(v≠0)．3．复合函数求导法则函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，y′x＝y′u·u′x或f′x(φ(x))＝f′(u)·φ′(x)．1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)≤f(b)B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a)D．bf(a)≤af(b)解析：根据已知条件[xf(x)]′≤0，则函数xf(x)为常数函数或在(0，＋∞)上递减，af(a)≥bf(b)≥0①又0ab，∴0，则0.②①×②得：bf(a)≥af(b)．答案：C2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：本小题主要考查求多项式函数的导数等基本知识．y＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝3x2＋2x－1，y′|x＝1＝3＋2－1＝4.答案：D3．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析：本小题主要考查多项式函数的导数，以及导数的四则运算等基础知识．四个选项的导函数分别为f′(x)＝3(x－1)2＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.答案：A4.(洪湖市高三月考)已知函数的值为________．解析:答案：12熟记常用函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．【例1】求下列各函数的导数：(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－；(4)y＝tanx；(5)y＝；(6)y＝解答：(1)∵y＝∴y′＝()′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)解法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.(3)∵y＝，∴y′＝(4)y′＝(tanx)′＝＝sec2x.(5)y＝∴y′＝(6)y＝＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.求复合函数的导数，首先要把复合函数分解成基本初等函数，再利用复合函数求导法则求导数．【例2】(1)求函数y＝sin2(2x＋)的导数；(2)求函数y＝2log3x的导数．解答：(1)y′＝2sin(2x＋)cos(2x＋)·2＝2sin(4x＋)．(2)y′＝2log3xln2·＝log32·变式2.求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝ln(x＋)；(3)y＝；(4)y＝答案：(1)2xsinx＋x2cosx(2)(3)(4)利用求导可解决证明不等式和数列求和等问题．【例3】当x＞0时，证明不等式：x－x2＜ln(1＋x)＜x.证明：设f(x)＝ln(1＋x)＋x2－x，g(x)＝x－ln(1＋x)，∴f′(x)＝g′(x)＝当x＞0时，f′(x)＞0，且g′(x)＞0，∴f(x)与g(x)在(0，＋∞)上递增．又f(x)与g(x)在x＝0处连续，∴f(x)＞f(0)且g(x)＞g(0)．而f(0)＝g(0)＝0，∴x－x2＜ln(1＋x)＜x.变式3.利用导数求和：1＋2x＋…＋nxn－1(x≠1)．解答：设s＝1＋2x＋…＋nxn－1＝(x＋x2＋…＋xn)′＝＝【方法规律】1．要熟练掌握基本函数导数公式，熟练应用两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，在利用复合函数求导法则求函数导数时，一定要清楚函数、中间变量与自变量的关系，如例2以避免出现运算错误．2．利用导数证明不等式，要对所证不等式适当的进行变形观察，要将证明不等式转化为解决相关函数的单调性问题.(2010·天津市五校高三联考)(本题满分5分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(x)的导函数是f′(x)，集合A＝{x|f(x)＞0}，B＝{x|f′(x)＞0}，若B⊆A，则()A．a＜0，b2－4ac≥0B．a＞0，b2－4ac≥0C．a＜0，b2－4ac≤0D．a＞0，b2－4ac≤0【答题模板】解析：由已知f′(x)＝2ax＋b，若a＞0，f′(x)＞0，即x＞－对于内的一切x不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，则Δ≤0，即b2－4ac≤0，若a＜0，x＜－，对于内的一切x不等式ax2＋bx＋c＞0，不可能恒成立，综上a＞0，Δ≤0.答案：D【分析点评】导数的求法是导数应用的基础，要求正确地运用求导法则求出函数的导函数．高考考查导数的求法，即使是选择题、填空题也常与其他内容综合考查，有可能与曲线的切线、不等式、数列以及数形结合的思想方法结合进行综合与全面的考查．本题就是一个导数与不等式结合的小型综合题.