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掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程第33课时圆的方程1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的(轨迹)叫圆．2．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为＝r2.集合(x－a)2＋(y－b)23．圆的一般方程二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，其中，半径是r＝，圆心坐标叫做圆的一般方程．1．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝3B．a＝0，b＝－3C．a＝－1，b＝－1D．a＝－2，b＝1解析：本题考查圆的方程的转化以及圆的对称问题．圆的方程可化为(x＋)2＋(y－1)2＝1＋－b，由题知圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－＋1－1＝0，∴a＝0，又点(2,1)在圆上，所以b＝－3.答案：B2.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5答案：A3．若x2＋y2＝4，则x－y的最大值是________．答案：24．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．解析：∵AB的中垂线y＝－3必过圆心，故解得圆心坐标为C(2，－3)，|CA|＝，∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝51.可根据所给的三个条件，借助于图形，利用圆的几何性质，求出a、b、r；2．待定系数法：可将所给的三个条件设法代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解关于a、b、r构成的三元二次方程组．【例1】求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．解答：解法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，∴x0＝1即圆心坐标(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程(x－1)2＋(y＋4)2＝8.解法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.变式1.已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线l：x＋y＝0相切于点P(3，－)，求圆C的方程．解答：设圆C的圆心坐标和半径分别为(a，b)和r，则圆心在过P(3，－)与l垂直的直线y＋＝(x－3)上．由已知条件将①③代入②整理得＝|2a－6|＋1，解得a＝0，或a＝4.当a＝0时，b＝－4，r＝6；当a＝4时，b＝0，r＝2.所求圆的方程为x2＋(y＋4)2＝36，或(x－4)2＋y2＝4.1.比较典型的问题是：已知圆上三点坐标求圆的方程，可利用圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0采用待定系数法，通过解三元一次方程组求出D、E、F.2．求两圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝O与O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点可通过解联立方程组求得，特殊地，两圆方程相减消去二次项得到的方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示两圆公共弦所在直线的方程．【例2】求过圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0与直线x＋y＋1＝0的交点且圆心在直线y＝x上的圆的方程．解答：如图，设所求圆的方程为(x2＋2x＋y2＋4y－3)＋λ(x＋y＋1)＝0，即x2＋(2＋λ)x＋y2＋(4＋λ)y＋λ－3＝0，∴圆心的坐标为，由已知得－，解得：λ＝－6，因此所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－9＝0.变式2.求圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0与圆x2＋y2－4x－2y－9＝0的公共弦的长度．解答：①－②得x＋y＋1＝0.即两圆公共弦所在的直线的方程为x＋y＋1＝0.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝，因此两圆的公共弦长为.1.圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是，可利用参数方程转化为三角函数问题解决．2．若点M(x0，y0)满足(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，可知点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的内部．【例3】在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解答：可求得当前P点坐标为(30，－210)，设经过t小时后该城市开始受到台风的侵袭，此时刻台风侵袭的区域为[x－(30－10t)]2＋[y－(－210＋10t)]2≤(10t＋60)2，将x＝y＝0代入上式，整理得t2－36t＋288≤0，即(t－12)(t－24)≤0.解得12≤t≤24.因此12小时后该城市开始受到台风的侵袭.求圆的方程时，一般题设中要给出三个条件：(1)可通过图形求a、b、r，确定方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；可设出方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，列关于a、b、r的方程求解．(2)对过不在同一直线的三点的圆可利用待定系数法求方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D、E、F.(3)可利用求轨迹方程的方法求圆的方程.【方法规律】(本小题满分12分)如图所示，圆O1和O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解答：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，由已知PM＝PN，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即x2＋y2－12x＋3＝0.∴所求动点P的轨迹方程为x2＋y2－12x＋3＝0.【答题模板】1，设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即x2＋y2－12x＋3＝0.∴所求动点P的轨迹方程为x2＋y2－12x＋3＝0.,1.高考中有可能对圆的方程进行考查，但一般不单独考查，有可能考查直线与圆的位置关系问题，有可能与距离、最值和轨迹等问题进行综合考查．本题源于：“平面内动点到两定点距离之比为定值，求动点的轨迹”问题．涉及到通过解直角三角形求圆的切线长等问题．2．求圆的方程，一般利用圆的标准方程、一般方程，也可利用求轨迹方程的方法求圆的方程，学生应通过教材了解更多产生圆的轨迹的背景.【分析点评】