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第3课时空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质基础知识梳理名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α两点基础知识梳理名称图示文字表示符号表示公理2过上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l不在一条直线有且只有一条2.空间两直线的位置关系(1)位置关系的分类基础知识梳理有且只有一个没有没有(2)平行公理公理4：平行于同一直线的两条直线——空间平行线的传递性．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角相等或互补．基础知识梳理互相平行对应平行(4)异面直线所成的角设a、b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的叫做异面直线a、b所成的角．如果两条异面直线所成的角是，则称这两条直线互相垂直．基础知识梳理锐角(或直角)直角3．直线和平面的位置关系基础知识梳理位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面α内l⊂α无数个基础知识梳理位置关系图示符号表示公共点个数直线l与平面α相交一个直线l与平面α平行0个l∩α＝Al∥α4.平面与平面的位置关系基础知识梳理位置关系图示符号表示公共点个数两平面平行两平面相交无数个(这些公共点均在交线l上)α∥βa∩β＝l0个1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能答案：D三基能力强化2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C三基能力强化3．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒a∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案：C三基能力强化4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角为.5．三条直线两两相交，可以确定__________个平面．三基能力强化答案：45°答案：1或3证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．课堂互动讲练考点一点共线问题课堂互动讲练例1如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线．【思路点拨】要证明M、N、K三点共线，由公理3可知，只要证明M、N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．课堂互动讲练课堂互动讲练【证明】PQ∩CB＝MRQ∩DB＝NRP∩DC＝K⇒M、N、K∈平面BCDM、N、K∈平面PQR⇒M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线．课堂互动讲练【名师点评】错误主要出现在不能正确判断M、N、K所在平面．证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．课堂互动讲练考点二线共点问题课堂互动讲练例2如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别三条直线EF、GH、AC交于一点．是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，求证：【思路点拨】先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上．课堂互动讲练【证明】∵E、H分别是AB、AD的中点，∴由公理4知，EH∥FG，且EHFG.∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底．课堂互动讲练∴由中位线定理知，EH綊12BD.又∵CFCB＝CGCD＝23，∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝23BD.∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．又∵面ABC∩面ADC＝AC，∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三直线交于一点．课堂互动讲练【思维总结】证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点，然后再证明这一点在第三条直线上，而证明后者，往往是利用这点在两个平面的交线上．课堂互动讲练若本例中的其他条件不变，将比例改课堂互动讲练互动探究为AEEB＝CFFB＝2，AHHD＝CGGD＝3.求证：EH、FG、BD三线共点．∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EFHG.所以四边形EFGH为梯形，设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，所以P在两平面的交线BD上，所以EH、FG、BD三线共点．课堂互动讲练证明：因为AEEB＝CFFB＝2，所以EF∥AC.又AHHD＝CGGD＝3，证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．课堂互动讲练考点三点、线共面问题课堂互动讲练例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：D1、E、F、B共面．课堂互动讲练【思路点拨】连结D1E、D1F→D1E与DG相交，D1F与DC相交→证明两交点与B共线．【证明】∵D1、E、F三点不共线，∴D1、E、F三点确定一平面α，又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行，故分别延长D1E、DA相交于G，则G∈直线D1E⊂平面α，∴G∈α.同理，设直线D1F与DC的延长线交于点H，则H∈平面α.课堂互动讲练课堂互动讲练又∵点G、B、H均属于平面AC，且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，∴△AGB为等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°，又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α，∴D1、E、F、B共面．课堂互动讲练【名师点评】题中是先说明D1、E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．课堂互动讲练证明两直线为异面直线的方法：1．定义法(不易操作)．2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．课堂互动讲练考点四异面直线的判定3．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．课堂互动讲练课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【思路点拨】(1)易证MN∥AC，所以AM与CN不是异面直线．(2)由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法．课堂互动讲练【解】(1)不是异面直线．理由：连结MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.4分又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.6分课堂互动讲练(2)是异面直线．理由：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面.8分假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.12分课堂互动讲练【名师点评】证明异面直线的方法中反证法最常用，不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．课堂互动讲练(本题满分10分)由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体．如图，在正四面体ABCD中，E、F分别是BC和AD的中点．CF与DE是一对异面直线，在图中适当地选取一点作出异面直线CF与DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角．课堂互动讲练高考检阅解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角.10分课堂互动讲练1．公理1反映了平面的本质属性，通过直线的“直”和“无限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“无限延展”的特征．其作用是：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判定直线上的点在平面内．规律方法总结2．公理2的作用：确定平面的依据．它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．例如：三点确定几个平面？当三点共线时，三点确定无数个平面；当三点不共线时，确定一个平面，所以三点确定一个或无数个平面．公理2中的“有且只有一个”包含两层含义：(1)“有”说明平面的存在性；(2)“只有一个”说明平面的唯一性．规律方法总结3．公理3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入