典型共点力平衡问题例题

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典型共点力作用下物体的平衡例题[例1]质量为m的物体,用水平细绳AB拉住,静止在倾角为θ的固定斜面上,求物体对斜面压力的大小,如图1(甲)。[分析]本题主要考察,物体受力分析与平衡条件,物体在斜面上受力如图1乙,以作用点为原点建立直角坐标系,据平衡条件∑F=0,即找准边角关系,列方程求解。[解]解法一:以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系,由平衡条件得:Tcosθ-mgsinθ=0(1)N-Tsinθ-mgcooθ=0(2)联立式(1)(2)解得N=mg/cosθ据牛顿第三定律可知,物体对斜面压力的大小为N′=mg/cosθ解法二:以物体为研究对象,建立如图2所示坐标系,据物体受共点力的平衡条件知:Ncosθ-mg=0∴N=mg/cocθ同理N′=mg/cosθ[说明](1)由上面解法可知:虽然两种情况下建立坐标系的方法不同,但结果相同,因此,如何建立坐标系与解答的结果无关,从两种解法繁简不同,可以得到启示:处理物体受力,巧建坐标系可简化运算,而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。(2)用正交分解法解共点力平衡时解题步骤:选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件(3)不管用哪种解法,找准力线之间的角度关系是正确解题的前提,角度一错全盘皆错,这是非常可惜的。(4)由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点,题目中物体受重力G,斜面支持N,水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡,这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时很方便。[例2]如图1所示,挡板AB和竖直墙之间夹有小球,球的质量为m,问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时,AB板及墙对球压力如何变化。[分析]本题考察当θ角连续变化时,小球平衡问题,此题可以用正交分解法。选定某特定状态,然后,通过θ角变化情况,分析压力变化,我们用上题中第四条结论解答此题。[解]由图2知,G,N2(挡板对球作用力),N1墙壁对球作用力,构成一个封闭三角形,且θ↑封闭三角形在变化,当增加到θ’时,由三角形边角关系知N1↓,N2↓。[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论,简捷直观。本题是一种动态变化题目,这种题目在求解时,还可用一种极限法判断,如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时,可知N1=0,过程中N1一直减小,N2=mg,N2也一直在减小。[例3]如图1所示,用一个三角支架悬挂重物,已知AB杆所受的最大压力为2000N,AC绳所受最大拉力为1000N,∠α=30°,为不使支架断裂,求悬挂物的重力应满足的条件?[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F=G,这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC,所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解,设两分力为F1、F2,画出的平行四边形如图2所示。[解]由图2可知:因为AB、AC能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时,对AC绳的拉力将先达到最大值,所以为不使三角架断裂,计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据,即取F2=F2m=1000N,于是得悬挂物的重力应满足的条件为Gm≤F2sin30°=500N,[说明]也可取A点为研究对象,由A点受力,用共点平衡条件求解。A点受三个力:悬挂物的拉力F=G,杆的推力FB,绳的拉力FC,如图4所示。根据共点力平衡条件,由FCsinα=G,FCcosα=FB,即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况,具有更普遍的意义。[例4]如图1所示,细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连,已知物体B所受到的重力为100N,地面对物体B的支持力为80N,试求(1)物体A所受到的重力;(2)物体B与地面间的摩擦力;(3)细绳CO受到的拉力。[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题,据平衡条件∑Fx=0,∑Fy=0,分别取物体B和定滑轮为研究对象,进行受力情况分析,建立方程。[解]如图2所示,选取直角坐标系。据平衡条件得f-T1sinα=0,N+T1cosα-mBg=0。对于定滑轮的轴心O点有T1sinα-T2sin30°=0,T2cos30°-T1cosα-mAg=0。因为T1=mAg,得α=60°,解方程组得(1)T1=40N,物体A所受到的重力为40N;(2)物体B与地面间的摩擦力f=T1sinα=40sin60°≈34.6N;(3)细绳CO受到的拉力[说明]在本题中,我们选取定滑轮的轴心为研究对象,并认定T1与mAg作用在这点上,即构成共点力,使问题得以简化。例5]如图1所示,在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳,细绳的另一端连着圆环,圆环套在水平的棒上可以滑动,环与棒间的静摩擦因数为0.75,另有一条细绳,在其一端跨过定滑轮,定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G,而圆环将要开始滑动时,试问(1)长为30cm的细绳的张力是多少?(2)圆环将要开始滑动时,重物G的质量是多少?(3)角φ多大?[分析]选取圆环作为研究对象,分析圆环的受力情况:圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。[解]因为圆环将要开始滑动,所以,可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0,∑Fy=0,建立方程有μN-Tcosθ=0,N-Tsinθ=0。设想:过O作OA的垂线与杆交于B′点,由AO=30cm,tgθ=,得B′O的长为40cm。在直角三角形中,由三角形的边长条件得AB′=50cm,但据题述条件AB=50cm,故B′点与滑轮的固定处B点重合,即得φ=90°。(1)如图2所示选取坐标轴,根据平衡条件有Gcosθ+Tsinθ-mg=0,Tcosθ-Gsinθ=0。解得T≈8N,(2)圆环将要滑动时,得mGg=Tctgθ,mG=0.6kg。(3)前已证明φ为直角。例6]如图1所示,质量为m=5kg的物体放在水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时,牵引力F的最小值和方向角θ。[分析]本题考察物体受力分析:由于求摩擦力f时,N受F制约,而求F最小值,即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。我们可以先通过物体受力分析。据平衡条件,找出F与θ关系。进一步应用数学知识求解极值。[解]作出物体m受力分析如图2,由平衡条件。∑Fx=Fcosθ-μN=0(1)∑Fy=Fsinθ+N-G=0(2)由cos(θ-Ф)=1即θ—Ф=0时∴Ф=30°,θ=30°[说明]本题中我们应用了数学上极值方法,来求解物理实际问题,这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如:几何法、三角形法等数学方法解物理问题,所以,在我们学习物理时,逐步渗透数学思想,对解决物理问题是很方便的。但要注意,求解结果和物理事实的统一性。[例7]如图1,A、B两物体质量相等,B用细绳拉着,绳与倾角θ的斜面平行。A与B,A与斜面间的动摩擦因数相同,若A沿斜面匀速下滑,求动摩擦因数的值。[分析]本题主要考察受力分析及物体平衡条件。选择A为研究对象,分析物体A受力,应用正交分解法。据平衡条件求解。[解]取A为研究对象,画出A受力如图2,建立如图所示坐标系。据物体平衡条件∑Fx=mgsinθ-f1-f2=0(1)∑Fy=N1-NB-mgcosθ=0(2)其中f1=μN1(3)f2=μNB(4)由B受力知NB=mgcosθ(5)联立上面式(1)(2)(3)(4)(5)得[说明](1)本题在进行受力分析时,要注意A与斜面C的接触力N1和f1,A与物体B的接触力N2和f2,一定注意,N1和N2的取值。(2)本题可以变化为若A沿斜面加速下滑,或沿斜面减速下滑。μ应满足关系?则加速时mgsinθ>μN1+μNB(3)摩擦力公式f=μN,有时因物体只受水平作用力,f=μN=μmg,但当物体受力变化以后,N就不一定等于mg了,如图3的两个情形。所以切记:公式一定要写成μN。对N求解不要想当然,应据题设进行实际分析而得。【例8】如图1所示,支杆BC一端用铰链固定于B,另一端连接滑轮C,重物P上系一轻绳经C固定于墙上A点。若杆BC、滑轮C及绳子的质量、摩擦均不计,将绳端A点沿墙稍向下移,再使之平衡时,绳的拉力和BC杆受到的压力如何变化?[误解一]滑轮C点受杆BC的支持力F、绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q(其中Q大小等于G),如图2所示。由平衡条件可得F=G·sinα,T=G·cosα当绳的A点下移后,α增大,所以F增大,而T减小。[误解二]滑轮C点受到杆BC支持力F,绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q(其中Q的大小等于G),如图3,T与F的合力与Q等值反向。当A点下移后,T与竖直方向的夹角要增大,滑轮C也要下降,使BC与墙间的夹角θ增大,但因这两力的合力始终与Q等值反向,所以这两个分力均要增大。[正确解答]滑轮C点受到F、T、Q三力作用而平衡,三力组成封闭三角形,如图4,注意到同一条绳上各处张力都相同,则有T=Q=G,以杆受到压力增大,而绳子拉力仍不变,大小为G。[错因分析与解题指导]当不计绳子的质量时,绳子各处张力都相等,两个[误解]都未认识这个事实。另外,[误解一]自设T与F垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况,是毫无道理的。[误解二]则臆断A点下移时,滑轮C也要下降,BC与墙间的夹角θ增大,与事实不符。值得一提的是:本题BC杆对滑轮C点的作用力是沿着杆子的,而这是有条件的,仅当BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时,上述结论才成立。1.明确研究对象,对它进行受力分析,画出受力图;2.根据平衡条件列方程;3.统一单位,代入数字、解方程、求答案。由题讲话由题讲话,促使学生积极思维,获得更加全面的知识,加深对物理现象和规律的理解。现举一、二例加以说明。如图1,OA是一根横梁,一端安在轴O上,另一端用钢索AB拉着,在B处安装一小滑轮,可以改变钢索的长度,OB=OA,在A端挂一重物G。(横梁重不计)试求钢索BA的拉力?学生不感到困难。根据∑M=0,解得:这时教师向学生发问:若将钢索BA加长(即缓慢下放),钢索的拉力F如何变化?学生根据上面的结果自然会想到,θ角将逐渐变小,力F必将逐渐增大。当θ角趋近于零时,F将变得无限大!?F逐渐变大,与感性认识不太相符;无限大,显然不符合实际情况,感到疑惑不解。毛病出在哪里呢?让学生去思索结症在哪里。教师可以启发学生,在缓慢下放的过程中,θ角变小,但F的力臂也随着变小,(注意表达式Lsinθ不变),尤其G的力臂也在变小,不再是OA的长,显然图1不能反映一般的情况,应该重新作图分析,如图2。为说明解题的方法是多种的,可以用共点力平衡法去解。根据正弦定理:可见,下放时,θ角逐渐变小,力F1逐渐变大。这个结果与上面的“一致”。应该指出表达式(2)在形式上与表达式(1)显然不同,但(2)却包括了(1)式的结果。再看,若θ角趋近零时,力F1又如何?学生自然会得出,F1趋近2G?!又会感到不解。在学生的思维里,应为F1=G或F1=G/2才有理。这时教师可以让学生求一下F2=?计算结果F2=G。又看到在下放的过程中F2却始终不变,也是出乎意料。这两个意外的结果有助于揭开谜底。这时应指出在这个三角架装置中,OA必须是杆,不能用绳来代替,它起着支撑的作用。通过计算已知,在下放的过程中,OA杆的支撑力始终不变,为G。所以当θ角趋近于零时,力F1将趋近G+G=2G。必须指出θ趋近于零,并不是等于零。若等于零后,那么钢索的拉力F1就是不定的了,已经越过本题所讨论的范围。还可以让学生研究一下逐渐上拉时的变化情况化?此题属共点力平衡问题,一般可采用正交分解法,三角形法则,或是作图法求解,过程并非简单.若换用转动平衡条件∑M=0,只要支点选得适当,会使问题一目了然.先考查BC绳的张力F1,以A为支点,将绳AB与小球视为一刚体,平衡时应有:MF1-MG=0即MF1=MG.由于θ角保持不变,则重力的力矩MG将保持恒定,因而F1的大小变化主要依赖它对A点的力臂的变化,当BC垂直于AB时,F1的力臂等于绳长AB,其它位置的力臂均小于AB,故由此可知在C点上移的过程中,BC绳的张力F1先变小后变大.再考虑AB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