数学专业毕业论文常数变易法的几个常见应用

常数变易法的几个常见应用摘要：众所皆知，常数变易法是用来解线性微分方程行之有效的一种方法，那么，何为常数变易法？简单的说，是将常数变易为待定函数的方法。常数变易法是常微分方程解决一阶非齐次线性微分方程的常用方法，本文主要就常数变易法在一阶非齐次线性微分方程中的应用来探究常数变易法在解微分方程中的重要性，并且由一阶非齐次线性微分方程推广到一类特殊的一阶非线性微分方程中来，探讨常数变易法在一阶非线性微分方程中的应用。最后，通过对常数变易法的了解，举例说明它在中学数学中应用的灵活性。关键词：常数变易法；一阶非齐次线性微分方程；一阶非线性微分方程；中学数学1常数变易法在一阶非齐次线性微分中的应用一阶非齐次线性微分方程的标准形式：()()dyPxyQxdx……………（1.1）其中()Px和()Qx在考虑的区间上是x的连续函数。解法详见12'用常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程()()dyPxyQxdx，我们可以得到一阶非齐线性微分方程的通解()()(())PxdxPxdxyeQxedxc。例、求方程333dyxxyxdx的通解。解题思路：不难发现，333dyxxyxdx化成一般形式223dyxyxdx属于一阶非齐次线性微分方程的标准形式，因此我们可以应用常数变易法的方法来求解。解题过程：将方程化成一般形式223dyxyxdx………………………①⑴求一阶齐次线性微分方程：23dyxydx的通解，求得它的通解为3xyce(c为任意常数）。⑵作变量代换，即将常数c变易为待定函数()cx得3()xycxe……………………………②微分之，得332()3()xxdydcxexcxedxdx……………………③将方程（2）、（3）代入方程（1）并整理得32()xdcxxedx积分后得到31()3xcxec（c为任意常数）…………④⑶通过代换方程④代入②得①的通解为331()3xxyeec这里c为任意常数。分析：单从求解过程来看，常数变易法对于求解一阶非齐次线性微分方程来说是比较简便，从此例我们得出应用常数变易法即可求得一阶非齐线性微分方程的通解.现我们把一阶非齐线性微分方程的常数变易法推广到一阶非线性微分方程：()dyyyfxgdxxx中来。2常数变易法在一阶非线性微分()dyyyfxgdxxx3中的应用对于形如()dyyyfxgdxxx…………………………（2.1）的方程，这里()fy、ygx分别在所考虑的区间上连续。1若()0yfxgx，则（2.1）可转化为dyydxx这类方程即变量分离方程，可解得通解为ycx（c为任意常数）。2若()0yfxgx，这就是我们今天所要求解的一阶非线性微分方程()dyyyfxgdxxx的通解。这里我们借助常数变易法来求解，分成三步骤：⑴取一阶齐次非线性微分方程：dyydxx……………………（2.2）应用变量分离的方法求得它的通解：ycx（c为任意常数）………………（2.3）⑵将（2.3）变量代换，即将常数c变易为待定函数()cx得()ycxx……………………………（2.4）微分之，得()()dydcxxcxdxdx，……………………（2.5）将方程（2.5）、（2.4）代入方程（2.1）并整理得()()(())dcxxfxgcxdx……………………（2.6）通过变量分离设（2.6）所求得的解为()()cxGxc………………（2.7）⑶最后，通过代换方程（2.7）代入（2.4）求得通解为())(Gxxyc（c为任意常数）。例：求解微分方程233dyyyxdxxx解：⑴取一阶齐次非线性微分方程：dyydxx求得它的通解：ycx（c为任意常数）………………①⑵将①中常数c变易为待定函数()cx得()ycxx……………………………②微分之，得()()dydcxxcxdxdx，……………………③将方程②、③代入原方程并整理得22()3()dcxxcxdx……………………④通过变量分离求得④的解为31()cxxc………………⑤⑶通过代换方程⑤代入②求得通解为3xcxy（c为任意常数）。3常数变易法中中学数学上的运用事实上，常数变易法不仅在求解微分方程时有用,它的解题思路已经扩散到数学的各个领域，在中学数学上也常用这种方法来求解一些问题。在这边，我们通过几个例子来了解常数变易法在中学数学解题的方便性。例1、（在方程中的运用）解方程2281781710xxxx。解：将原方程变形为22(4)1(4)110xx运用常数变易法将此方程中的常数“1”变成变量“2y”，则2222(4)(4)10xyxy根据椭圆的定义可知，这个方程是以1(4,0)F，2(4,0)F为焦点，长轴长为10的椭圆。因此我们可得其方程为221259xy，最后将21y代入，得1023x即为原方程的解。例2、（在三角中的运用）设9cos3sintan0………………（1）2sin4costan0……………………（2）求证：1cos6。证明：在（1）式中，把常数“3”通过变易为变量“x”，则（1）式可化为2cossintan0xx……………………（3）若cos0，则不等式1cos6成立；若cos0，则（3）式是关于x的一元二次方程，再由（2）式可知（3）式的判别式为0，（3）式有两个相等的根123xx12tan9cosxx即tan9cos把tan9cos代入（2）式得2236cossin又2sin1，236cos1即21cos361cos6得证。例3、（在解不等式中的应用）解不等式2248486xxxx。解：原不等式可化为2222(2)2(2)26xx，运用常数变易法，将22看作是2y，由此可看出这个不等式是3,2,5acb的椭圆内部区域所以不等式可变形为22195xy，再令222y，得原不等式的解为3535|55xx。例4、（在方根中的应用4）解方程428160()xxxxR解：把“4”看作是变量t，则原方程可化为2422()0txtxx运用十字相乘法22()()0txxtxx解得2txx把“4”代回去得24xx①当24xx，解得1,21172x②当24xx，无解原方程的解为1,21172x参考文献：[1]王高雄、周之铭、朱思铭等编.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.7[2]钟益林、彭乐群、刘炳文编著.常微分方程及其Maple，MATLAB求解[M].清华大学出版社.2007.10[3]刘九方，刘学生.常微分方程中常数变易法的推广[J].大连大学学报.2009年第六期[4]王辉、李政谦.巧用常数变易法解题[J].中学数学月刊..2004年第4期ConstantVariationMethodOfSeveralCommonApplicationChenXiaoPingTUTOR：ChenShiPing(DeptofMaths.QuanzhouTeachersCollegeQuanzhou362000)Abstract:wellknown,constantvariationmethodisusedtosolvethelineardifferentialequationofakindofeffectivemethod,then,whatisconstantvariationmethod?Insimpleterms,istheconstantvariationforthemethodofundeterminedfunction.Constantvariationmethodisusedtosolvedifferentialequationoffirstordernonhomogeneouslineardifferentialequationofthecommonlyusedmethod,thispapermainlyisconstantvariationmethodinfirstordernonhomogeneouslineardifferentialequationoftheapplicationtoexploreconstantvariationmethodinsolvingdifferentialequations,andtheimportanceofthefirstordernonhomogeneouslineardifferentialequationisgeneralizedtoaspecialkindoffirstordernonlineardifferentialequation,discussesconstantvariationmethodinfirstordernonlineardifferentialequationoftheapplication.Finally,throughtheconstantvariationmethodofunderstanding,andillustrateitinmiddleschoolmathematicsapplicationofflexibility.Keywords:constantvariationmethod;Aordernonhomogeneouslineardifferentialequations;Firstordernonlineardifferentialequations;Middleschoolmathematics