2011-10-21 第2讲-约数、倍数、完全平方数、质数、合数、分解质因数(数论综合)

电话：400-810-2680第1讲专题四：约数、倍数、完全平方数专题五：质数、合数、分解质因数授课时间：2011年10月16日周日数论综合专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若那么如右图(,),(,),AaabBbab(,)1ab应用：两个数A，B，可以设两个数分别为A=Ma,B=Mb,其中M是两个数的最大公约数，a,b分别成为A，B的“独有因数”，同时两数的最小公倍数可以表示为Mab，灵活应用到题目中(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。(,)[,]ababab即一、专题知识点概述最大公约数与最小公倍数的常用性质(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为3362168专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)32257专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述约数个数与所有约数的和(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为332100023572323(1222)(13)(1555)(17)74880专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述完全平方数常用性质1.主要性质:完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。若质数p整除完全平方数，则p能被整除。专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述完全平方数常用性质2.一些推论:任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾平方差公式22()()ababab专题四约数倍数完全平方数二、重点难点解析1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3．代数方法的应用4．完全平方数的性质和平方差公式三、竞赛考点挖掘1．约数个数计算公式的正向和反向应用2．最大公约数和最小公倍数与原数字的关系3．约数倍数知识点与其他知识点的结合4．完全平方数的性质专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例1】（难度等级※※）数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例2】（难度等级※※）甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×60=360，则乙数为360÷12=30【例3】（难度等级※※）甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是1.那么乙数是多少81【分析与解】甲数除以乙数所得的商为，那么甲数与乙数的比为9：8，则乙数为甲数为11878567963专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例4】（难度等级※※※）设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？【分析与解】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，，或者，若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A的形式为的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为，类似的可以知道,同时为满足最小要求。C为8个约数情况可能有两种，，其中当时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为9(21)(21)22Aab2223A2Bab252B3,CmnpCmn332C20243617280专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例5】（难度等级※※※）动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【分析与解】依题意得:花生总粒数=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数=20×第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，…；第二群猴子只数是4，8，12，…；第三群猴子只数是3，6，9，…；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例6】（难度等级※※※）甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；第二种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．专题四约数倍数完全平方数四、习题讲解【例7】（难度等级※※※）三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？【分析与解】设这三个数分别为A2、B2、C2，那么有（A+B）（A-B）=80，（A+C）（A-C）=140，因为140=2×2×5×7，A+C，A-C，同奇同偶，所以有（A+C=14，A-C=10）或者（A+C=70，A-C=2），分别解得（A=12，C=2）和（A=36，C=34），对于后者无法将B解出，所以A只能等于12，C=2，继而求得B=8，所以这三个数分别为12、8、2.专题四约数倍数完全平方数五、课后思考2.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?4.学而思学校三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么学而思学校总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.3.两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？1.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？专题四约数倍数完全平方数六、挑战自己（难度等级※※※※）abc是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?专题四约数倍数完全平方数一、专题知识点概述质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数专题五质数合数分解质因数任意数字形如的分解结构，可以加深对质因数的理解，即结构中的△均为质因数。☆☆☆△△△...一、专题知识点概述质数和合数的一些性质和常用结论1.0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，即，0和1，质数，合数。2.最小的质数是2，最小的合数是4。3.常用的100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为1，3，7，9专题五质数合数分解质因数一、专题知识点概述质数和合数的一些性质和常用结论4.部分特殊数的分解：专题五质数合数分解质因数11133710017111311111412711000173137199535719199823333720073322320082222512007200840155117310101371337一、专题知识点概述质数和合数的一些性质和常用结论5.质数的判定方法专题五质数合数分解质因数判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。例如：判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。251÷2=125…1,251÷3=83…2,251÷5=50…1,251÷7=35…6，…,251÷17=14…13，此时除数17＞商14，由此说明251是质数。6.互质的概念N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。二、重点难点解析1．质数与合数的基本性质，100以内质数的分布规律2．质数与奇偶性及整除性知识点的结合3．分解质因数法解决数论应用题三、竞赛考点挖掘1.以质数合数为基础考察其他知识点的运用2.分解质因数法解部分应用