中考数学专题复习五图形的变换(一)

中考数学专题复习五图形的变换(一)马鞍山市成功学校：程立虎——对称、平移与旋转中考复习-《对称、平移与旋转》一、知识要点1．轴对称与轴对称图形（1）如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．（2）把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的特征：对应线段相等,对应角相等，连结对称点的线段被对称轴垂直平分．中考复习-《对称、平移与旋转》2．图形的平移（1）图形的平行移动，简称为平移，它由移动的方向和距离所决定．（2）平移的特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等；对应角相等；图形的形状与大小都没有发生变化；连结对应点的线段平行且相等．注意：对应线段也可能在同一条直线上，连结对应点的线段也可能在同一条直线上．中考复习-《对称、平移与旋转》3．图形的旋转（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定．（2）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．（3）在平面内，一个图形绕一个定点转动一个角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形称为旋转对称图形．中考复习-《对称、平移与旋转》4．中心对称与中心对称图形（1）一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心．注意：中心对称图形是旋转角度为180°的特殊的旋转对称图形．（2）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心（3）成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．二、试题精析中考复习-《对称、平移与旋转》例1下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．分析：从图形的对称性来看，图形①、③、④均为轴对称图形，而图形②不是轴对称图形．答案：图形②与其它三个不同，理由是：图形①、③、④均为轴对称图形，而图形②不是轴对称图形．例2如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是（）221A．2B．1C.D.'PNMDBACPM'分析：点M、N在直线AC的同旁，要在AC上求一点P，使PM＋PN最小，首先作点M关于AC的对称点M‘，连结M’N交AC于点P．这样，ＰＭ＋PN＝PM＇＋PN＝M＇N最短．因为菱形ABCD是轴对称图形，AC是对称轴，所以AB的中点M关于AC的对称点M＇就是AD的中点，这样，AM＇与BN平行且相等，即四边形ABNM＇是平行四边形，故M＇N＝AB＝1．所以本题答案是：选择B．中考复习-《对称、平移与旋转》中考复习-《对称、平移与旋转》例3如图⑴，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为则这334,2cm图（1）EABCDADC'''AABBCCP'''图（2）个旋转角度为________度．如图⑵，将上述两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分△A’PC的面积1cm2，则它移动的距离AA’等于________cm．中考复习-《对称、平移与旋转》分析：观察图（1），由轴对称性质，可知：△BEA＇的面积等于重叠部分的面积图（1）EABCDADC'''的一半，所以，,332''21EABA即,332'221EA.332'EA由tan∠A＇BE＝,33''BAEA得∠A＇BE＝30°，所以，∠A＇BC＝60°，从而∠ABA＇＝90°－60°＝30°，故这个旋转角度为30°．AABBCCP'''图（2）观察图（2），由平移的性质，可知，A＇B＇∥AB，所以△ABC∽△A＇PC．则,'2'ACCASSABCPCA222'21CA即解得A＇C＝2，从而AA＇＝.222本题是2005年山东省济南市中考题，除考查了对称、平移和旋转的相关知识外，还考查了相似三角形的性质及解直角三角形的有关知识，具有一定的综合性．中考复习-《对称、平移与旋转》例4如图，在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形．（1）要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可）（2）指出四边形是什么图形？（不要求证明）说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移，旋转等不同变换．ABC35110°°ABC35110°°中考复习-《对称、平移与旋转》（1）①以BC为对称轴作对称变换（或以BC的中点O把△ABC绕O点旋转180°）．解:°°11035CBAA＇O②把△ABC绕AC的中点O旋转180°（或把△ABC绕AB的中点O旋转180°）．°°11035CBAA＇O()C＇()B＇（2）菱形,平行四边形.ABC35110°°ABC35110°°中考复习-《对称、平移与旋转》例5在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是．（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形：；②既是轴对称图形，又是中心对称图形：．分析：（1）由旋转对称的定义可知，①是假命题；②是真命题．（2）正三角形和正六边形旋转120°能与自身重合，所以应填①③．（3）①正五边形（或正五角星、正十五边形等）；②正十边形（或正二十边形等）．中考复习-《对称、平移与旋转》例6已知平面直角坐标系中的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1（，），B1（，）．C－111BAABxyO11分析：先根据题意画出图形．易知∠AOB＝45°，所以点A绕点O按顺时针方向旋转135°后，点A1恰好在x轴上，且线段OA1的长等于线段OA的长，即OA1＝OA＝．2故点A1的坐标是)0,2(要求B1的坐标，需要过B1作x轴的垂线段B1C．因为∠BOB1＝135°，所以∠B1OC＝45°．在直角三角形OB1C中，OB1＝OB＝1，所以B1C＝OC＝OB1·cos45°＝22即B1的坐标为)22,22(中考复习-《对称、平移与旋转》例7如图①，将射线OX按逆时针方向旋转角β，得到射线OY，如果点P为射线OY上一点，且OP=a，那么我们规定用（a，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，β）．例如图②中，如果OM=8，∠XOM=100°，那么点M在平面内的位置记为M（8，100°），据此回答下列问题：（1）在图③中,如果点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON=，∠XON=．（2）图④中若点A、B在平面内的位置分别计为A（4，45°）、)75,34(B则线段AB长为．βaPXYO·图①XM（8,100°）O100°图②N（6,30°）OX图③B（4,75°)解：（1）ON＝6，∠XON＝30°；A（4,45°）图④)75,34(BOX中考复习-《对称、平移与旋转》②连结OA、OB，作AC⊥OB于C，在Rt△OAC中，∠1＝90°，∠AOB＝∠BOX－∠2＝30°，OA＝4，C图④A（4,45°）)75,34(BOX12∴AC＝2，OC＝,32∴OB－OC＝BC＝,32在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，222BCACAB∴AB＝4．本题是2005年内蒙古乌兰察布市中考试题，属于阅读理解型试题，主要考察同学们在经历数学概念的形成和应用过程中，获取信息、探索新知和创新应用的能力。中考复习-《对称、平移与旋转》例8如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2经过A、O、D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．（1）求a的值；（2）求图2中矩形EFGH的面积；（3）求图3中正方形PQRS的面积．解：（1）根据题意得点D的坐标为),5,25(把点D),5,25(代入y=ax2，得.25a中考复习-《对称、平移与旋转》（2）如图1，根据题意得正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT重合，由平行移动的性质可知EH=15.同理可得EF=10．∴S矩形EFGH=15×10=150．（3）如图2，建立平面直角坐标系，由抛物线、正方形的对称性可得ZQ=VQ.254525mm).(25,4521舍去mm∴点Q坐标为).45,45(.215)]25(25[2RQ.42252RQSPQRS正方形.0),54,(2mmm其中设Q点坐标为中考复习-《对称、平移与旋转》三、课后练习1.下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（）ABCDA．B．C．D．2.下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．中考复习-《对称、平移与旋转》4.如图，根据实际需要，在学校矩形草地上修一条小路（小路的任何地方水平宽度都等于2米），则剩余草地的面积为米2．a米m米3.如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图2，则此三角形移动中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝的距离AA′是（）ABBACC'''21C．1222A．B．D．1中考复习-《对称、平移与旋转》（不取近似值.以下数据供解题使用：)22615cos,42615sinPAABP''6.如图，在△AOB中，AO＝AB，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，2)，点O的坐标是(0，0)，将△AOB平移得到△A‘O’B‘，使得点A’在y轴上，点O＇、B＇在x轴上．则点B＇的坐标是．xy22OBA5.如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A‘P’B，且BP=2，那么PP‘的长为．中考复习-《对称、平移与旋转》7.用四块如图1所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形（如图2），请你分别在图3、图4中各画一种与图2不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且其中至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．图1图2图3图4中考复习-《对称、平移与旋转》8.在如图所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．（1）将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标；（3）△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到的．除此之外，△A2B2C2还可以由△A1B1C1怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形变换的步骤．ＡＣＢＯ中考复习-《对称、平移与旋转》四、练习答案1.A2.A212