利用导数探究含参数函数的性质

利用导数探究含参数函数的性质结束利用导数探究含参数函数的性质利用导数研究函数的单调性[典例]已知函数g(x)＝lnx＋ax2＋bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．利用导数探究含参数函数的性质结束[解](1)依题意得g′(x)＝1x＋2ax＋b(x＞0)．由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1．(2)由(1)得g′(x)＝2ax2－2a＋1x＋1x＝2ax－1x－1x．∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－x－1x．利用导数探究含参数函数的性质结束由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝12a，若12a＜1，即a＞12，由g′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜12a，由g′(x)＜0，得12a＜x＜1；若12a＞1，即0＜a＜12，由g′(x)＞0，得x＞12a或0＜x＜1，由g′(x)＜0，得1＜x＜12a，若12a＝1，即a＝12在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0．利用导数探究含参数函数的性质结束综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a＜12时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在1，12a上单调递减，在12a，＋∞上单调递增；当a＝12时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＞12时，函数g(x)在0，12a上单调递增，在12a，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．利用导数探究含参数函数的性质结束[方法点拨](1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)本题(2)求解应先分a＝0或a＞0两种情况，再比较12a和1的大小．利用导数探究含参数函数的性质结束[对点演练](2016·太原一模)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)设函数h(x)＝f(x)＋1＋ax，求函数h(x)的单调区间．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f(1)＝1，即切点为(1,1)，∵f′(x)＝1－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1，∴曲线y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0．利用导数探究含参数函数的性质结束(2)由题意知，h(x)＝x－alnx＋1＋ax(x＞0)，则h′(x)＝1－ax－1＋ax2＝x2－ax－1＋ax2＝x＋1[x－1＋a]x2，①当a＋1＞0，即a＞－1时，令h′(x)＞0，∵x＞0，∴x＞1＋a，令h′(x)＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1＋a．②当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)＞0恒成立，综上，当a＞－1时，h(x)的单调递减区间是(0，a＋1)，单调递增区间是(a＋1，＋∞)；当a≤－1时，h(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．利用导数探究含参数函数的性质结束[典例]设a＞0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．(2)求函数f(x)的极值．利用导数研究函数的极值[解](1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋ax(x＞0)，又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，解得a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．利用导数探究含参数函数的性质结束(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax(x＞0)．①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a,1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋alna，极小值是f(1)＝－12．利用导数探究含参数函数的性质结束②当a＝1时，f′(x)＝x－12x≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值．③当a＞1时，若x∈(0,1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋alna．综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－12a2＋alna，极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋alna．利用导数探究含参数函数的性质结束[方法点拨]对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f′(x)零点的存在；(2)参数是否影响f′(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f′(x)在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．利用导数探究含参数函数的性质结束[对点演练](2016·山东高考)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．解：(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．所以g′(x)＝1x－2a＝1－2axx．当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0，x∈0，12a时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈12a，＋∞时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，＋∞．利用导数探究含参数函数的性质结束(2)由(1)知，f′(1)＝0．①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a＜12时，12a＞1，由(1)知f′(x)在0，12a内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈1，12a时，f′(x)＞0．所以f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．利用导数探究含参数函数的性质结束③当a＝12时，12a＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．④当a＞12时，0＜12a＜1，当x∈12a，1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为12，＋∞．利用导数探究含参数函数的性质结束[典例]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．利用导数研究函数的最值利用导数探究含参数函数的性质结束当0＜x＜1a时，f′(x)＝1－axx＞0；当x＞1a时，f′(x)＝1－axx＜0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞．综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞．[解](1)由题意，f′(x)＝1x－a(x＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，利用导数探究含参数函数的性质结束(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a．②当1a≥2，即0＜a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a．③当1＜1a＜2，即12＜a＜1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当12＜a＜ln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln2－2a．综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a．利用导数探究含参数函数的性质结束[方法点拨](1)在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值，在不是闭区间的情况下，函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在，也可能只存在一个，或既无最大值也无最小值；(2)在一个区间上，如果函数只有一个极值点，则这个极值点就是最值点．利用导数探究含参数函数的性质结束[对点演练]1．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A．33B．3C．3＋1D．3－1利用导数探究含参数函数的性质结束解析：f′(x)＝x2＋a－2x2x2＋a2＝a－x2x2＋a2．令f′(x)＝0，得x＝a或x＝－a(舍去)，若a≤1，即0＜a≤1时，在[1，＋∞)上f′(x)＜0，f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33．解得a＝3－1，符合题意．若a＞1，即a＞1时，在[1，a)上f′(x)＞0，在(a，＋∞)上f′(x)＜0，所以f(x)max＝f(a)＝a2a＝33，解得a＝34＜1，不符合题意，综上知，a＝3－1．答案：D利用导数探究含参数函数的性质结束2．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t＋2(t0)上的最小值．解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e．又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e．所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e．利用导数探究含参数函数的性质结束x0，1e1e1e，＋∞f′(x)－0＋f(x)极小值①当t≥1e时，在区间t，t＋2上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt．(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：利用导数探究含参数函数的性质结束②当0t1e时，在区间t，1e上f(x)为减函数，在区间1e，t＋2上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f1e＝－1e．综上，f(x)min＝tlnt，t≥1e，－1e，0t1e.