利用导数研究函数的极值和最值

课前热身：32()32fxxx在区间1,1上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4C一、知识要点回顾1.函数的极值与导数一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有0()()fxfx我们就说f(x0)是f(x)的一个极大值，点x0叫做函数y=f(x)的极大值点.反之，若，则f(x0)是f(x)的一个极小值，点x0叫做函数f(x)的极小值点.)()(0xfxf极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.一、知识要点回顾1.函数的极值与导数可导函数的极值如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f‘(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f‘(x)0，右侧f‘(x)0，我们就把点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f‘(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f‘(x)0，右侧f‘(x)0，我们就把点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.一、知识要点回顾1.函数的极值与导数求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程/y=0的根，这些根称为可能极值点；(若f（x0）有意义，但f/（x0）不存在，则x0也称为可能极值点)；④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法).二、例题分析1.,()2ln2.afxxxa例设为常数求函数的极值考点一：函数的极值问题:22ln22.a答案极小值二、例题分析考点一：函数的极值问题变式.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调区间.(1)03620(1)11321fabfab即，解:f′(x)=3x2-6ax+2b,∵f(x)在x=1处有极小值-1，32().fxxxx21()3210,1.3fxxxxx由得或1312ab解得，1()0,1,3fxx由得二、例题分析考点一：函数的极值问题变式.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调区间.1()(,)(1,)31(,1).3fx所以在、上分别为增函数，在上为减函数考点一：函数的极值问题32212.()(1)(),30.(1)1,()(1,(1))(2)().fxxxmxxRmmyfxffx例设函数其中当时求曲线在点处的切线斜率；求函数的单调区间与极值3232:(1)1;(2)(1,1),(,1)(1,),21(1),3321(1).33mmmmfmmmfmmm答案递增区间递减区间和极大值极小值考点一：函数的极值问题.,()ln1,()kRfxxkxfx变式已知函数讨论函数的极值情况.:0,;10,ln.kkxkk答案当时没有极值当时在处取得极大值一、知识要点回顾3.函数的最大（小）值与导数若函数)(xfy在区间ba,上连续，在),(ba内可．导．；求函数)(xfy的最大值与最小值的步骤：(2)将函数)(xfy在),(ba内的极值与)(),(bfaf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(1)求函数)(xfy在),(ba内的极值；注意：若函数)(xfy在[a,b]上为单调函数，则函数最值由函数的端点值)(),(bfaf决定.二、例题分析考点二：函数的最值问题解:(1)∵f(x)在x=-1和x=3时取得极值,∴-1、3是方程f′(x)=3x2-2ax+b=0的两根.例3.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)(1)若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围.2133133ab，39ab解得(2)f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9，当x变化时，有下表而f(-2)=c-2,f(6)=c+54;∵x∈[-2,6]时f(x)的最大值为c+54,f(x)＜2|c|恒成立，而且仅当c+54＜|c|当c≥0时，c+54＜2c，解得c＞54当c＜0时，c+54＜-2c，解得c＜-18∴c的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞).x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值c+5极小值c-27二、例题分析考点二：函数的最值问题例3.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)(1)若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围.[方法点拨]连续函数在闭区间上必有最值，只要比较区间的端点值及区间内的极值的大小，即可得最值.不等式恒成立问题经常要先求函数的最值(或值域)，然后转化为求参数的范围.二、例题分析考点二：函数的最值问题.,()().(1)();(2)()()[0,2].();,()2.afxxxafxgafxgaaaga变式已知是实数函数求函数的单调递增区间设为函数在区间上的最小值①求的表达式②求实数的取值范围使得关于的不等式≤恒成立:(1)0,,,;33(0)2(2)();(06)332(2)(6)6.aaaaaagaaaaa答案递减区间递增区间≤①≥②≥三、针对性训练(一)《状元360》P3973.5.5.,(),________.xaRyeaxxRa设若函数有大于零的极值点则实数的取值范围是(,1)四、小结巩固掌握导数在研究极值与最值方面的应用.五、布置作业练习:《状元360》P397创新设计习题讲评：P655.～7.答案：1.2.2sin()sin()sin()sin180()aaAC3.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm