高考试题三角函数部分分析

试题特点1.2008年高考三角试题情况统计2008年高考各地的19套试卷中，出现三角函数选择题有32道，填空题有8道，解答题有18道.考查的内容，涉及三角函数图象，三角函数求值，求最小正周期，对称轴方程，求三角函数的最值或值域，和向量综合，和导数综合等内容，其中考查三角函数图象，三角恒等变换的试题占多数.2、主要特点特点一:考小题,重在于基础.有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,三角函数的解析式,图象和图象变换,两域(定义域,值域),四性(单调性,奇偶性,对称性,周期性),反函数,以及简单的三角变换,(求值,化简,及比较大小),都突出了对三角函数基础知识的考查.试题特点特点四:考综合,常体现出三角的工具作用.由于近年高考的命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,故常常是在知识的交汇点出题.而三角知识可谓是基础的基础,因而在考查与立体、解几、向量、复数、参数等内容相结合的综合性问题时,常常体现了三角的工具性作用。特点二:考大题,难度略有降低.由于高中数学教材内容的重新修订,对三角函数的整体要求有所降低,体现在高考中对有关三角函数的大题(解答题),通过三角公式变形,转换等手段来考查学生思维能力的题目,其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三:考应用,常融于三角形之中.高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受命题者的青睐,主要解法是充分利用三角形的内角和定问题时,常常体现了三角的工具性作用。高考命题趋势纵观2008年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于三角函数的命题有如下几个显著特点：1.高考题型：三角函数的试题一般是两小题一大题.在2008年全国的数学高考试卷中，一般都有一道三角函数解答题，而且都是处在解答题第1题的位置.两小题中多为选择题.2.难易程度：三角函数的解答题一般都为基础题，处在送分题的位置；而在两个小题中，有一个较容易，而另一个较灵活.3.高考热点：其一是考查三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析（对称轴、对称中心）等；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值和简单的综合问题等.其三三角函数与向量结合。基于以上分析，预测在2009年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为两小题一大题.主要考查“三基”（基础知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，难度多为容易题和中档题。复习备考方略解答三角函数题目，其实很讲究技巧，掌握有效的解题方法，可以大幅度缩短解题时间。随着高考改革的不断深入，三角函数部分在高考试卷中的比重有所下降。与此同时，题目的难度也明显下降。这一点，在选择题中体现更为明显，所以这里提醒考生在复习时，要有针对性，全面复习基础知识，在基础题上下功夫，做到快速、准确。此外，对于历年考试真题，一定要认真对待，反复研究、总结规律，彻底吃透每一道题。复习备考方略通过合理的训练，考生在12分钟之内做完10道选择题是完全可以做到的。简单说来，解答三角函数题目的方法，无外乎以下三种：1、特殊值：用特殊值解题是三角函数里面最常用的方法，同时它的准确度也是最高的。2、数形结合：数字和图形的有机结合，将数学问题直观的展现在我们眼前。3、化归：最基本、最原始，却也是万能的方法，对于成绩一般的同学尤为适用。三角函数的出题形式，几年来变化不是很大，而且在历年真题上都有很明显的体现。总的来讲，主要有以下四种：1、三角变换类型题2、图像问题3．周期问题4、极值(或值域）问题。考题剖析考点一：三角函数的概念1、课标要求三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。2、命题规律在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主考题剖析。［点评］本题考查三角函数的定义，由三角函数的定义，可以确定三角函数在四个象限的符号。例1、（2007北京理）已知cosθ●tanθ0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角解：依题意，有cosθ0,tanθ0,或cosθ0,tanθ0，所以，θ在第三象限，或者θ在第四象限。考题剖析。［点评］本题考查终边相同角的表示法，注意旋转360度、720度后又与原来角终边相同。例2、与－463°终边相同的角可表示为（）A．k·360°＋436°（k∈Z）B．k·360°＋103°（k∈Z）C．k·360°＋257°（k∈Z）D．k·360°－257°（k∈Z）考题剖析考点二：同角三角函数的关系1、课标要求掌握同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。2、命题规律在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。22sincos1考题剖析。［点评］本题考查正余弦函数之间的关系：平方和为1，以及正切函数与正弦函数、余弦函数之间的关系，属容易题。例3、（2008江苏模拟）已知40,cos25xx，则tanx=．考题剖析。［点评］本题考查同角三角函数之间的平方关系和商的关系，注意隐含条件的应用。例4、（2008浙江理）若,5sin2cosaa则atan=（）（A）21（B）2（C）21（D）2解：由cos2sin5可得：由cos52sin，又由22sincos1，可得：2sin＋（52sin）2＝1可得sin＝－552，cos52sin＝－55，所以，tan＝cossin＝2。考题剖析考点三：诱导公式1、课标要求（1）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式；（2）掌握五组诱导公式的规律，并会应用诱导公式解决问题，如求三角函数值，化简，证明等问题。2、命题规律诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。考题剖析。例5、（2007全国卷2理1）sin210（）A．32B．32C．12D．12解：sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-故选（D）。考题剖析考点四：三角函数的图象和性质1、课标要求理解正、余弦函数在［0，2π]，正切函数在（-，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质。2、命题规律主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。22考题剖析考点五：三角恒等变换1、课标要求经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。2、命题规律主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。考题剖析。例6、（2006广东）已知函数()sinsin(),2fxxxxR.(I)求()fx的最小正周期；(II)求()fx的的最大值和最小值；(III)若3()4f，求sin2的值.考题剖析。［点评］本题考查2倍角的正弦、余弦函数公式，及三角函数的性质，属中档题。例11、(2008湖南理)函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值是()A.1B.132C.32D.1+3解：由1cos231()sin2sin(2)2226xfxxx,52,42366xxmax13()1.22fx故选C.考题剖析。例12、（2008安徽文、理）已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期∴考题剖析。［点评］熟练掌握三角恒等变换，正弦、余弦的和差化积公式，2倍角公式等是解决此类题的关键。（2）5[,],2[,]122636xx因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以，当3x时，()fx取最大值1又31()()12222ff，∴当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间[,]122上的值域为3[,1]2考题剖析。［点评］本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等内容，属中档题。例13、(2008陕西文)已知函数()2sincos3cos442xxxfx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3gxfx，判断函数()gx的奇偶性，并说明理由．考题剖析考点六：解三角形1、课标要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。2、命题规律本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。考题剖析。例14、（2008广东揭阳模拟）如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得75CAB，45CBA,且AB＝100米。（1）求sin75；（2）求该河段的宽度。解：（1）sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin4512326222224考题剖析。［点评］正弦定理、余弦定理是解三角形是重要定理，有时会结合勾股定理来求解。（2）∵75CAB，45CBA∴18060ACBCABCBA,由正弦定理得：sinsinABBCACBCAB∴sin75sin60ABBC如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。在RtBDC中，∵45BCDCBA,sin,BDBCDBCsin45BDBC＝62100sin7524sin45sin60232AB25(623)3（米）∴该河段的宽度25(623)3米。考题剖析。［点评］三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点。例15、（2007山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结12AB，22102AB，122030210260AA，122A