《导数及其应用》专题复习

1《导数及其应用》专题复习一、求切线方程例1．（2012广东理）曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程为__________．解:∵2()31fxx∴切线的斜率k2(1)3112f，∴切线方程为32(1)yx，即21yx练习1.（2014广东文）曲线53xye在点(0,2)处的切线方程为________520xy练习2．(2014江西文)若曲线lnyxxP上点处的切线平行于直线210,xyP则点的坐标是_______.(,)ee练习3．(2014新课标Ⅱ文)已知函数32()32fxxxax，曲线()yfx在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2,则_______a.1练习4．（2014广东理）曲线25xey在点)3,0(处的切线方程为。53yx练习5．(2014新课标Ⅱ理)设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx,则a(D)A．0B．1C．2D．3点拨：求切点方程要注意:①已知点是否为切点？若未知切点应设切点坐标。②若切点为00(,)xy,则切线的斜率0()kfx．③切点既在切线上又在曲线上。二、求函数的单调区间例2．（2014湖北文数）求函数ln()xfxx的单调区间。解:()fx的定义域为(0,)。∵ln()xfxx∴21ln()xfxx当()0fx，即0xe时，()fx单调递增；当()0fx，即xe时，()fx单调递减；故()fx的单调递增区间为(0,)e，单调递减区间为(,)e点拨：求函数的单调区间应注意：①定义域优先；②单调区间不能用并集表示。练习6．求函数21()ln2fxxx的单调区间解:()fx的定义域为(0,)，211()xfxxxx2由()0fx得10x或1x；由()0fx得1x或01x∴()fx的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1)练习7．（2014广东文数）已知函数321()1()3fxxxaxaR，求函数()fx的单调区间；解:2()2,fxxxa方程220xxa的判别式：4(1)a①当1a时，0，()0fx，此时()fx在(,)上为增函数；②当1a时，方程220xxa的根为11xa，当(,11)xa时，()0fx，此时()fx为增函数；当(11,11)xaa时，()0fx，此时()fx为减函数；当(11,)xa时，()0fx，此时()fx为增函数；综上，当1a时，()fx的单调递增区间是(,)，无单调递减区间；当1a时，()fx的单调递增区间是(,11)a和(11,)a，单调递减区间是(11,11)aa三、求函数的极值例3．(2014福建文数)已知函数()xfxeax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线()yfx在点A处的切线斜率为1,(1)求a的值及函数()fx的极值；解：由()xfxeax得()xfxea,又()11fxa,得2a∴()2xfxex,()2xfxe,令()0fx得ln2x当ln2x时,()0fx,()fx单调递减;当ln2x时,()0fx,()fx单调递增;∴当ln2x时,()fx有极小值,且极小值为ln2(ln2)2ln22ln4fe,()fx无极大值.点拨：求函数极值时选求导,然后把导函数因式分解,最高次项系数不是1的要提取系数.练习8．（2014天津文数）已知函数()2323fxxax=-()0a，xRÎ.（Ⅰ）求()fx的单调区间和极值；解：（Ⅰ）因为()2323fxxax=-()0a，所以()()22221fxxaxxax¢=-=-.令()0fx¢=得0x=或1a.3因为当0x或1xa时，()0fx，()fx单调递减，当10xa时，()0fx，()fx单调递增，所以()()00fxf==极小值，()2113fxfaa骣÷ç==÷ç÷ç桫极大值.练习9．（2014重庆文数）已知函数23ln4)(xxaxxf，其中Ra，且曲线)(xfy点))1(,1(f处的切线垂直于xy21。（1）求a的值；（2）求函数)(xf的单调区间和极值。解：（1）211()4afxxx,由曲线()yfx点(1,(1))f处的切线垂直于12yx,得(1)f1124a,解得54a（2）由（1）知,53()ln442xfxxx,∴()fx的定义域为(0,),2245()4xxfxx2(1)(5)4xxx,令()0fx解得1x或5x,因为1x不在()fx的定义域内,故舍去.当(0,5)x时,()0fx,()fx单调递减;当(5,)x时,()0fx，()fx单调递增，所以函数)(xf的单调递减区间是(0,5),)(xf的单调递增区间是(5,),由此知()fx在5x处取得极小值(5)ln5f.四、求函数的最值例4．(2014北京文数)已知函数3()23fxxx.（1）求()fx在区间[2,1]上的最大值；解：由3()23fxxx得2()63fxx，令()0fx得22x或22x，当x变化时，()fx、()fx的变化情况如下表：x2(,)22222(,)22222(,)2()fx00()fx极大值极小值4∴()fx有极大值2()2f2()22f,极小值2()22f又∵(2)10,(1)1ff，∴()fx在区间[2,1]上的最大值为2。点拨：求函数的最值只需求出极值和区间端点的函数值,再比较大小.练习10．已知函数3()212fxxx,(1)求函数fx的单调区间;(2)求函数在[2,3]的最大值和最小值。解：2()6126(2)(2)fxxxx，令()0fx，得122,2xx当x变化时，()fx、()fx的变化情况如下表：x(2,2)2(2,2)2(2,3)()fx00()fx极大值82极小值82∴()fx的单调递增区间为(,2)和(2,)，单调递减区间为(2,2)又∵(2)8,(3)18ff，∴()fx在[2,3]的最大值为18，最小值为82。例5．（2014四川文数）已知函数2()1,xfxeaxbx其中a、bR，2.71828e为自然对数的底数。（1）设()gx是函数()fx的导数，求()gx在区间[0,1]上的最小值。解：∵2()1,xfxeaxbx∴()()2xgxfxeaxb∴()2xgxea①当0a时，()0gx恒成立，∴()gx在[0,1]上单调递增∴min()(0)1gxgb②当0a时，令()0gx，得ln2xa。()gx在(,ln2)a单调递减，()gx在(ln2,)a单调递增；（ⅰ）当ln20a，即102a时，()gx在[0,1]上单调递增，∴min()(0)1gxgb（ⅱ）当0ln21a时，即122ea，()gx在[0,ln2]a上单调递减，在()gx在[ln2,1]a上单调递增，所以当122ea时，min()(ln2)22ln2gxgaaaab5（ⅲ）当ln21a，即2ea时，()gx在[0,1]上单调递减。∴min()(1)2gxgeab综上，当12a时，()gx为最小值为1b；当122ea时，()gx为最小值为22ln2aaab；当2ea时，()gx为最小值为2eab。点拨：求含有参数的函数在某区间的最值要分类讨论，一般分三类①极值点在区间左侧；②极值点在区间内；③极值点在区间右侧。练习11．.（2011陕西文数）设()lnfxx，()()()gxfxfx．（1）求()gx的单调区间和最小值；解：（1）由题设知()lnfxx，()()()gxfxfx，∴()gx的定义域为(0,)，21()xgxx，令()0gx，得1x，当(0,1)x时，()0gx，()gx是减函数，故()gx的单调减区间是(0,1)；当(1,)x时，()0gx，()gx是增函数，故()gx的单调递增区间是(1,)。因此，1x是()gx的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点。所以()gx的最小值为(1)1g。练习12．.（2011北京文数）已知函数()()xfxxke，（I）求()fx的单调区间；（II）求()fx在区间[0,1]上的最小值。解：（I）()1()(1)xxxfxexkexke，；由()0fx得1xk，由()0fx得1xk，所以()fx的单调递增区间是(1,)k，()fx的单调递减区间是(,1)；（II）令()0fx得1xk，①当10k即1k时，函数()fx在区间[0,1]上单调递增，所以min()(0)fxfk；②当011k即12k时，由（I）知，函数()fx在区间[0,1]k上单调递减，在区间(1,1]k上单调递增，所以1min()(1)kfxfke；③当11k,即2k时，函数()fx在区间[0,1]上单调递减，所以min()(1)(1)fxfke。综上所述,当1k时，函数()fx在区间[0,1]上的最小值为k;12k时，函数()fx区间[0,1]上的最小值为1ke;当2k时，函数()fx在区间[0,1]上的最小值为(1)ke.6五、恒成立问题例6.(2014辽宁文数)当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[5,3]B．9[6,]8C．[6,2]D．[4,3]解：不等式32430axxx变形为3243axxx.①当0x时,3243axxx变为03,故实数a的取值范围是R.②当(0,1]x时,原不等式等价于2343xxax,记2343()xxfxx,则24489(1)(9)()0xxxxfxxx,故()fx在(0,1]上单调递增,则max()(1)6fxf,故6a.③当[2,0)x时,原不等式等价于2343xxax,记2343()xxfxx,则24489(1)(9)()xxxxfxxx,令()0fx,得1x或9x(舍去)当[2,1)x时,()0fx,()fx单调递减;当(1,0)x时,()0fx,()fx单调递增,故min()(1)2fxf.综上所述,实数a的取值范围是[6,2],选(C)点拨：恒成立问题应注意:①等号是否成立？②注意区分能成立与恒成立；③求a的取值范围最好能分离a.④()afx恒成立，则max()afx；()afx恒成立，则min()afx。练习13．(2014新课标Ⅱ文数)若函数()lnfxkxx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是()（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,解：∵()lnfxkxx∴1()fxkx∵()fx在区间（1，+）单调递增，∴()0fx在（1，+）恒成立即10kx在（1，+）恒成立∴max1()1kx,故选(D)练习14．（2013江苏卷）设函数axxxfln)(,axexgx)(,其中a为实数.(1)若)(xf在),1(上是单调减函数,且)(xg在),1(上有最小值,求a的取值范围;7解:(1)由01)('axxf即ax1对),1