《导数的概念与几何意义》导学案

第2课时导数的概念与几何意义导学固思...1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数.2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法.导学固思...如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?导学固思...根据创设的情境,割线PPn的变化趋势是.导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx;(3)求极限:y'x=x0=limΔx→0ΔyΔx.问题1问题2导学固思...根据创设的情境,割线PPn的变化趋势是.导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx;(3)求极限:y'x=x0=limΔx→0ΔyΔx.问题1问题2点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线导学固思...函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)=.相应的切线方程是:.曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.问题3问题4导学固思...函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)=.相应的切线方程是:.曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.问题3不止一个问题4limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx瞬间变化y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)导学固思...下列说法正确的是().A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在1导学固思...下列说法正确的是().A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在1D【解析】当切线平行于y轴时,切线斜率不存在,则f'(x0)不存在.导学固思...如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么().A.f'(x0)0B.f'(x0)0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在23设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.导学固思...如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么().A.f'(x0)0B.f'(x0)0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在2B3【解析】由x+2y-3=0知斜率k=-12,∴f'(x0)=-120.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.【解析】f'(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1,由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).(1,0)或(-1,-4)导学固思...4函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).导学固思...4函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).【解析】f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→03(x0+Δx)+2-(3x0+2)Δx=3.导学固思...7求切线方程已知曲线y=1t-x上两点P(2,-1),Q(-1,12).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.导学固思...7求切线方程已知曲线y=1t-x上两点P(2,-1),Q(-1,12).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.【解析】将P(2,-1)代入y=1t-x,得t=1,∴y=11-x.∴limΔx→011-(x+Δx)-11-xΔx=limΔx→0Δx[1-(x+Δx)](1-x)Δx=limΔx→01(1-x-Δx)(1-x)=1(1-x)2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2=1(1-2)2=1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=14.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-12=14[x-(-1)],即x-4y+3=0.导学固思...导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.导学固思...导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.【解析】设P点坐标为(x0,y0),y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(x+Δx)2-x2Δx=limΔx→02xΔx+(Δx)2Δx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.∴y'|x=x0=2x0,又由切线与直线4x-y+2=0平行,∴2x0=4,∴x0=2.∵P(2,y0)在抛物线y=x2上,∴y0=4,∴点P的坐标为(2,4),∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.导学固思...已知f(x)=x3-8x,则limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=;limx→2f(x)-f(2)x-2=;limk→0f(2-k)-f(2)2k=.导学固思...已知f(x)=x3-8x,则limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=;limx→2f(x)-f(2)x-2=;limk→0f(2-k)-f(2)2k=.【解析】f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0[(x+Δx)3-8(x+Δx)]-(x3-8x)Δx=limΔx→0(3x2+3x·Δx+Δx2-8)=3x2-8,∴f'(2)=4.limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=f'(2)=4.limx→2f(x)-f(2)x-2=lim(x-2)→0f[2+(x-2)]-f(2)x-2=f'(2)=4.limk→0f(2-k)-f(2)2k=-12lim(-k)→0f(2-k)-f(2)-k=-12f'(2)=-2.-244导学固思...过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.导学固思...过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.【解析】∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3,ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为k1=ΔyΔx=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.曲线在点P处的切线的斜率为k2=limΔx→0ΔyΔx=3.导学固思...已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?导学固思...已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?【解析】(1)将x=1代入y=x3得y=1,∴切点P(1,1),y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(x+Δx)3-x3Δx=limΔx→03x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2.∴y'|x=1=3,∴点P处的切线方程为y=3x-2.(2)由y=3x-2,y=x3得(x-1)(x2+x-2)=0,∴x=1或-2.∴公共点为(1,1)或(-2,-8),∴还有其他公共点(-2,-8).导学固思...B1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是()A.f'(xA)f'(xB)B.f'(xA)f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB)D.不能确定导学固思...B1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是()A.f'(xA)f'(xB)B.f'(xA)f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB)D.不能确定【解析】f'(xA)与f'(xB)分别表示函数图像在点A,B处的切线斜率,故f'(xA)f'(xB).导学固思...2.已知y=x+4,则y'的值是().A.12x+4B.12x+4C.2x+4D.1x+4导学固思...2.已知y=x+4,则y'的值是().A.12x+4B.12x+4C.2x+4D.1x+4B【解析】Δy=𝑥+Δ𝑥+4-𝑥+4,Δ𝑦Δ𝑥=𝑥+Δ𝑥+4-𝑥+4Δ𝑥,limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑥+Δ𝑥+4-𝑥+4Δ𝑥=limΔ𝑥→01𝑥+Δ𝑥+4+𝑥+4=12𝑥+4’∴y'=12𝑥+4.导学固思...3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.导学固思...3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.【解析】由题意limΔx→0a(1+Δx)2+b-a-bΔx=limΔx→0(aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又3=a×12+b,∴b=2,∴ba=2.24.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.【解析】f'(1)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0(1+Δx)2-12Δx=limΔx→0(Δx)2+2ΔxΔx=limΔx→0(Δx+2)=2,即切线的斜率k=2,所以y=x2在点A(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.导学固思...