(新课程)高中数学《1.1.1变化率与导数》课件 新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念【课标要求】1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．【核心扫描】1．求函数的平均变化率．(重点)2．求瞬时速度．(重点)3．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重难点)自学导引1．函数的变化率(1)平均变化率：函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为ΔyΔx.即ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx称为函数在区间[x1，x2]上的平均变化率．(2)瞬时变化率：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即fx0＋Δx－fx0Δx＝ΔyΔx.想一想：函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？提示不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.想一想：函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？提示平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2))，即kP1P2＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx；物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝st2－st1t2－t1.名师点睛1．关于平均变化率的理解关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)Δx是自变量x2相对于x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．(3)在公式ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0.2．对瞬时速度的理解(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．(2)在平均变化率ΔsΔt中，Δt趋近于0是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0.(3)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值ΔsΔt趋近于一个确定的常数，这时此常数才称为t0时刻的瞬时速度．3．对导数概念的理解导数是在点x＝x0处及其附近ΔyΔx的极限，是一个局部概念，y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数．注意：(1)某点导数的概念包含两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在(惟一确定的值)，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，②若limΔx→0ΔyΔx不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0st0＋Δt－st0Δt.(3)f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0与定义中的f′(x0)意义本质相同．题型一求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[思路探索]解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.【变式1】在例1中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．解由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1k2k3.题型二物体运动的瞬时速度【例2】一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．[思路探索]求物体的瞬时速度，应先求出平均速度ΔsΔt，再取极限．解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋aΔt2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8，∴a＝2.求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝ΔsΔt；(3)求limΔt→0ΔsΔt的值，即得t＝t0时的瞬时速度．【变式2】如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()．A．6B．18C．54D．81解析s＝3t2，∴s3＋Δt－s33＋Δt－3＝33＋Δt2－3·32Δt＝18Δt＋3Δt2Δt＝3Δt＋18当Δt→0时，3Δt＋18→18∴在t＝3时的瞬时速度为18.答案B题型三函数在某点处的导数【例3】求y＝x2在点x＝1处的导数．[规范解答]Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，(2分)ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，(6分)∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.(10分)∴y′|x＝1＝2.(12分)【题后反思】求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.【变式3】求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，ΔyΔx＝2Δx＋16，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16.误区警示忽略导数定义中Δx与Δy的对应关系【示例】设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝1,则f′(x0)等于()．A．1B．－1C．－13D.13[错解]limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－3Δx－fx03Δx·3＝3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝13，故选D.在导数的定义f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx是分子f(x0＋Δx)与f(x0)中的两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号的一致性．[正解]因为limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝－limΔx→0fx0－fx0－3Δx3Δx·3＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－13，故选C.正确运用公式，解答过程中注意计算的准确性．