(新课程)高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》课件 新人教A版选修2-2

1.3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点)2．利用导数证明一些简单不等式．(难点)3．常与不等式、方程等结合命题．自学导引1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导导数函数的单调性f′(x)0单调递增f′(x)0单调递减f′(x)＝0常数函数想一想：在区间(a，b)内，若f′(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内，这时，函数的图象就比较“”；反之，函数的图象就比较“”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．变化得快陡峭平缓名师点睛1．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(2)在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．2．利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开．题型一利用导数判断函数的单调性【例1】证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．[思路探索]利用函数单调性与导数间的关系进行判断．证明∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.【变式1】试证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减．证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx0，∴xcosx－sinx0，∴f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是减函数．题型二利用导数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.[思路探索]先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)0与f′(x)0，并与定义域求交集从而得相应的单调区间．解(1)f′(x)＝3x2－1＝(3x＋1)(3x－1)，令f′(x)0，则x∈－∞，－33和33，＋∞，令f′(x)0，则x∈－33，33.∴f(x)＝x3－x的单调增区间为－∞，－33和33，＋∞，单调减区间为－33，33.(2)y′＝ex－1，令y′0，即ex－10，则x∈(0，＋∞)，令y′0，即ex－10，则x∈(－∞，0)，∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．【变式2】求函数y＝x2－lnx2的单调区间．解∵函数y＝f(x)＝x2－lnx2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f′(x)＝2x－2x＝2x2－1x＝2x－1x＋1x，∴f′(x)，f(x)的取值变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋－0＋f(x)11由上表可知，函数f(x)＝x2－lnx2在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增；在区间(－∞，－1)，(0,1)上单调递减．题型三已知函数单调性求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．[思路探索]解f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．【变式3】(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．题型四用单调性与导数关系证不等式【例4】当x＞0时，证明不等式ln(x＋1)＞x－12x2.利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，证明f(x)在(0，＋∞)上单调增，由f(x)f(0)＝0证得．[规范解答]令f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，(4分)则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.(6分)当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(8分)于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－12x2成立．(12分)【题后反思】要证明不等式f(x)g(x)(x∈(a，b))成立，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，然后利用导数证明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，若F(a)－g(a)≥0.由增函数的定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)0，从而证明了不等式f(x)g(x)．【变式4】当0＜x＜π2时，求证：x－sinx＜16x3.证明设g(x)＝x－sinx－16x3，x∈0，π2，g′(x)＝1－cosx－12x2＝2sin2x2－x22.∵x∈0，π2，∴0＜sinx＜x，∴sin2x2＜x22，∴g′(x)＜0，∴g(x)在0，π2上单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0，∴x－sinx＜16x3.方法技巧转化与化归思想在单调性中的应用运用导数这个工具研究函数的单调性，体现了转化与化归的数学思想，凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性，在平时的学习中应予以高度重视．【示例】已知a0，且a≠1，证明函数y＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．[思路分析]求出y′→y′恒小于零→函数为减函数解y′＝axlna－lna＝lna(ax－1)当a1时，∵lna0，ax1，∴y′0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0a1时，∵lna0，ax1，∴y′0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．方法点评本题体现了转化与化归的思想．证明函数的单调性当然可以利用定义法，但过程冗长繁琐．利用导数来研究函数的性质，过程比较简洁，学习中应认真总结体会．本题中还需注意对a的讨论，否则证明过程会出现纰漏．