11、7正态分布与统计案例

据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系__________(填“是”或“否”)．答案：否课前热身§11.7、9正态分布与统计案例教学目标：1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用一、正态分布1．我们称φμ，σ(x)＝的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．12πσe22()2x，x∈(－∞，＋∞)2．一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx3．正态曲线的特点：(1)曲线位于x轴，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“”，表示总体的分布越．上方x＝μx＝μ1瘦高矮胖分散1σ2π正态分布中的3σ原则是指什么？提示：指正态总体取值在区间(u－σ，u＋σ)，(u－2σ，u＋2σ)，(u－3σ，u＋3σ)内的概率值，即P(u－σX≤u＋σ)＝0.6826，P(u－2σX≤u＋2σ)＝0.9544，P(u－3σX≤u＋3σ)＝0.9974，取值落在三个区间以外的可认定为小概率事件．[究疑点]二．独立性检验(1)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2合计x1n11n12n1＋x2n21n22n2＋合计n＋1n＋2nχ2＝_________________(其中n＝__________________为样本容量)nn11n22－n12n212n1＋n2＋n＋1n＋2n11＋n21＋n12＋n22(2)两个临界值：3.841与6.635.对于事件A与B，当___________时，有95%的把握说事件A与B有关；当___________时，有99%的把握说事件A与B有关；当___________时，认为事件A与B是无关的．χ23.841χ26.635χ2≤3.8411．设三个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)、N(μ2，σ22)(σ20)、N(μ3，σ23)(σ30)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ2按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排序是____________．答案：μ2μ1μ3；σ1σ3σ2考点探究·挑战高考考点突破正态分布2．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(xa)＝0.32，则P(a≤x4－a)＝________.解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x4－a)＝1－2P(xa)＝0.36.答案：0.363．(1)(2010·广东高考)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585(2)(2010·泰安模拟)某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为()A．22.8%B．45.6%C．95.44%D．97.22%(3)(2010·长春模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，若P(X＞4)＝0.2，则P(2＜X＜3)＝____________.答案：(1)B(2)C(3)0.3解析：(1)P(X4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.(2)设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80＜X＜120)＝P(100－20＜X＜100＋20)＝0.9544.(3)由题意可知曲线关于直线x＝3对称，故P(X＞4)＝P(X＜2)＝0.2，因此P(2＜X＜3)＝0.5－P(X＜2)＝0.5－0.2＝0.3.独立性检验独立性检验的一般步骤．(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式nn11n22＋n12n212n1＋n2＋n＋1n＋2，计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．【思路分析】根据公式χ2计算后与临界值比较．【解】由χ2＝50×18×19－6×7224×26×25×25＝11.54.∵χ26.635，故可以有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．【规律小结】独立性检验应注意的问题．(1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱．(2)若要求判断X与Y无关，应先假设X与Y有关系．互动探究2在本例条件下，如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？解：随机抽查一名学生有50种不同的抽法，积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，故P1＝2450＝1225.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，∴P2＝1950.考题诊断(2010·山东高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－0.023×2＝0.954.(2010·重庆高考)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．当堂检测解：(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(A)＝1－C23C26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝5C26＝13，P(ξ＝1)＝4C26＝415，P(ξ＝2)＝3C26＝15，P(ξ＝3)＝2C26＝215，P(ξ＝4)＝1C26＝115.从而知ξ的分布列为ξ01234P1341515215115所以E(ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.