12[1].3角平分线的性质

1、“两直线平行，内错角相等”是平行线的______,它的已知条件是____结论是_______。“内错角相等,两直线平行”是平行线的______,它的已知条件是____结论是_______。2、角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成_______两个角的射线叫做这个角的角平分线。3、点到直线的距离是这个点到这条直线的______的长度。●AD●AOCD11.3角平分线的性质学习目标知识与技能：1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．（重点）2、会用尺规作已知角的平分线。（重点）3、能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题。（难点）过程与方法：经历画图、猜测、归纳、发现和解决问题的过程，总结和探索几何规律的方法。情感态度与价值观：经历在现实情境中认识角平分线的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发求知欲。自学指导5分钟认真阅读课本48-49页思考以上的内容，回答下列问题：1、如何用尺规作角的平分线？2、角的平分线的性质是什么？如何证明？3、对于一个几何命题进行证明的一般步骤是什么？21２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．21如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．平分平角∠AOB，通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ABOCD结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？AOBAOBCDEP探究可以看出，第一条折痕OC是∠AOB_________第二次形成了____条折痕，分别为__________,它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等你能用三角形全等证明这个性质吗？∵OC是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE几何语言:角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPC温馨提示：角平分线的性质作用:通过角平分线证明线段相等，不必再证明三角形全等而走弯路，但推理过程中不要忘记垂直关系的书写。1、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵OC是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE几何语言:角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPCAOBCDEP已知：OC是∠AOB的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断相等的方法有哪些？△PDO≌△PEO吗？OABED思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等运用角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。1、距离指的是点到角的两边的垂线段的长；2、该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要用全等三角形；3、使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直。AOBCDEP已知：OC是∠AOB的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E求证：PD=PE2、已知Rt△ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E，则图中与DE相等的线段是____,理由是______________.若AB=10,BC=8,AC=6,则BE=____AE=____△AED的周长=_____BEADC跟踪练习跟踪训练1、已知∠C=900，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求点D到AB的距离12ABCDE例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC,CA的距离相等。BACPMN例题展示：证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么性质？ACPDEFMNB我们知道，角平分线上的点到____________相等到角两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？你能证明吗？角两边的距离AOBCDEP已知：P是∠AOB内一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，求证：OC是∠AOB的平分线。因此：到角两边的距离相等的点在角的平分线上温馨提示：角平分线的判定作用：通过线段相等证明是否是角平分线角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用数学语言表示为：∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么性质？三角形的三条角平分线交于一点，并且它到三角形三边的距离相等。ACPDEFMNB如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。CBAPDE如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用数学语言表示为：∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE