二项式定理

二项式定理●教学目标(一)教学知识点1．二项式定理及有关概念，公式．2．二项式系数性质．(二)能力训练要求1．了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用．2．掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法．(三)德育渗透目标1．提高综合素质．2．培养应用能力．●教学重点二项式定理及有关概念，公式的应用．●教学难点二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解．●教学方法讲练相结合法．●教学过程Ⅰ．复习回顾二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan-1b1＋…＋Crnan-rbr＋…＋Cnnbn．通项公式：Tr＋1＝Crnan-rbr．二项式系数：Crn．二项式系数性质：Cmn＝Cmnn，即对称性．当n为偶数时，2Cnn最大．当n为奇数时，21Cnn＝21Cnn且最大．各项系数之和：C0n＋C1n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n．Ⅱ．讲授新课［师］请同学们结合例题掌握以上知识．［例1］已知(x＋x2)n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10∶1，求展开式中含x的项．分析：先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项．因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式．解：∵T5＝C4n·(x)n-4·(x2)4＝C4n·24·212nx，T3＝C2n·(x)n-2·(x2)2＝C2n·22·26nx，∴1102C2C2244nn．即：C4n·22＝10C2n．化简，得n2-5n-24＝0．∴n＝8或n＝-3(舍)．∴Tr＋1＝Cr8(x)8-r·(x2)r＝Cr8·2r·238rx．由题意：令238r＝1，∴r＝2．∴展开式中含x的项为第3项T3＝C28·22x＝112x．［例2］如果1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝2187，求C1n＋C2n＋…＋Cnn的值．分析：∵1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝C0n·1n＋2C1n·1n-1＋22·C2n·1n-2＋…＋2n·Cnn＝(1＋2)n＝3n．解：∵1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝3n，∴3n＝2187＝37．∴n＝7．∵C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，∴C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n-1∴原式＝C17＋C27＋…＋C77＝27-1＝127．评述：要注意观察二项式系数的特征．［例3］求(1＋2x-3x2)5展开式中x5的系数．分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再求x5的系数．解法一：∵(1＋2x-3x2)5＝［1＋(2x-3x2)］5＝1＋5(2x-3x2)＋10(2x-3x2)2＋10(2x-3x2)3＋5(2x-3x2)4＋(2x-3x2)5＝1＋5x(2-3x)＋10x2(2-3x)2＋10x3(2-3x)3＋5x4(2-3x)4＋x5(2-3x)5∴x5的系数为上式各项中含x5的项系数和．即：10C23·21·(-3)2＋5C14·23·(-3)1＋25＝92．解法二：∵(1＋2x-3x2)5＝(1-x)5·(1＋3x)5＝(1-5x＋10x2-10x3＋5x4-x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)∴展开式中x5的系数为243-5·405＋270·10-10·90＋5·15-1＝92．Ⅲ．课堂练习1．求(x-3x)9的展开式中的有理项．分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解．解：∵Tr＋1＝Cr9(x)9-r(-3x)r＝(-1)rCr9·x627r，其中r＝0，1，2，…，9∴由题意得627r应为整数，r＝0，1，2，…，9．∴经检验，知r＝3和r＝9，∴展开式中的有理项为T4＝-C39·x4＝-84x4；T10＝-C99·x3＝-x3．2．已知(1-2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6．分析：由(1-2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解．解：(1)∵(1-2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝-1．令x＝0得a0＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝-2．(2)令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋…＋a6-a7＝37＝2187．由上式得a1＋a3＋a5＋a7＝1094；a0＋a2＋a4＋a6＝1093．评述：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．Ⅳ．课时小结应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用．基本掌握解决与此有关的问题的思想方法．Ⅴ．课后作业课本P111习题10．47、9、10．●板书设计§10．4．3二项式定理应用例题讲解复习回顾课时小结●备课资料一、有关二项式定理的高考试题分类解析高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用．(一)求多个二项式的积(和)的展开式中条件项的系数［例1］(2003年全国高考)(x2-x21)9展开式中x9的系数是________．分析：此题体现抓“通项”的思路．解：Tr＋1＝Cr9(x2)9-r(-x21)r＝(-1)r·2-rCr9x18-2r·x-r＝(-1)r·2-rCr9·x18-3r．当18-3r＝9时，得r＝3，所以x9系数为(-1)32-3C39＝-221．［例2］(1998年全国高考题)(x＋2)10·(x2-1)展开式中含x10的系数为________．(用数字作答)分析：(x＋2)10·(x2-1)展开式中含x10的项由(x＋2)10展开式中含x10的项乘以-1再加上(x＋2)10展开式中含x8的项乘以x2得到，即C010x10·(-1)＋C210x8·22·x2，故所求的x10的系数为：C010·(-1)＋C210·22＝179．［例3］(1998年上海高考题)在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为________．分析：(1＋x)5(1-x)4＝(1＋x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展开的通项为Cr4·(-x2)r，故展开式中x3的系数为-C14＝-4．［例4］(1990年全国高考题)(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)4＋(x-1)5的展开式中x2的系数等于________．分析：求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量．原式＝)1(1])1(1)[1(5xxx＝xxx6)1()1(．只需求(x-1)6展开式中x3的系数即可，Tr＋1＝Cr6x6-r(-1)r．令r＝3得系数为-20．(二)求多项式系数和［例5］(1999年全国高考题)若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2-(a1＋a3)2的值为()A．1B．-1C．0D．2分析：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法．解：欲求式可变为：(a0＋a2＋a4)2-(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0-a1＋a2-a3＋a4)实际上，a0＋a1＋a2＋a3＋a4和a0-a1＋a2-a3＋a4分别为已知式在x＝1，x＝-1的值．令x＝1得，(2＋3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝-1得，(2-3)4＝a0-a1＋a2-a3＋a4．∴(a0＋a2＋a4)2-(a1＋a3)2＝(2＋3)4·(2-3)4＝［(2＋3)(2-3)］4＝(4-3)4＝1(三)求幂指数n［例6］(1995年上海高考题)若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋…＋1(n∈N)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．分析：x3的系数a＝C3n，x2的系数b＝C2n，依题意a∶b＝3∶1，即C3n∶C2n＝3∶1，解得n＝11．即n＝11满足题意．(四)求二项式中有关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素．［例7］(1997年全国高考题)已知(2xxa)9的展开式中x3的系数为49，则常数a的值为________．分析：通项Tr＋1＝Cr9·(xa)9-r·(-2x)r＝Cr9·a9-r·(-22)r·x923r令23r-9＝3，解得r＝8，故Cr9·a9-r·(-22)r＝49169a．解得a＝4．［例8］(1998年上海高考题)设n∈N，(1＋nx)n的展开式中x3的系数为161，则n＝________．分析：Tr＋1＝Crn(n1)rxr令x3的系数为：C3n·31n＝161．展开整理得：1616)2)(1(3nnnn，解得n＝4．(五)三项式转化成二项式问题［例9］(1997年全国高考题)在(x2＋3x＋2)5的展开式中，x的系数为()A．160B．240C．360D．800分析：原式写成二项式［(x2＋2)＋3x］5，设第r＋1项为含x的项．则Tr＋1＝Cr5(x2＋2)5-r·(3x)r(0≤r≤5)．要使x指数为1，只有r＝1才有可能，即T2＝C15(x2＋2)4·3x＝15x(x8＋4·2x6＋6·4x4＋4·8x2＋24)．∴x的系数为15·24＝240．答案：B(六)求整除余数［例10］(1992年“三南”高考题)9192除以100的余数是________．分析：9192＝(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C919290＋C9292．由此可见，除后两项外均能被100整除．而C9192·90＋C9292＝8281＝82×100＋81．故9192被100整除余数为81．(七)利用二项展开式证明不等式［例11］(2001年全国高考题)已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．(1)证明：niAim＜miAin；(2)证明：(1＋m)n＞(1＋n)m．证明：(1)略(2)由二项式定理知(1＋m)n＝ni0miCin，(1＋n)m＝ni0niCim．由(1)知niAim＜miAin，又Cim＝!Aiim，Cin＝!Aiin，∴niCim＜miCin(1＜i≤m＜n)，故mi2niCim＜ni2miCin，又n0C0m＝m0C0n，nC1m＝mn＝mC1n．∴mi0niCim＜ni0miCin，即(1＋n)m＜(1＋m)n．(八)求近似值［例12］某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产＝耕地面积总产量，人均粮食占有量＝总人口数总产量)分析：此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力．解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷(hm2)，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷(t/hm2)依题意得不等式%)11()1010(%)221(4PxM≥PM410×(1＋10%)，化简得：x≤103×［1-22.1)01.01(1.110］，∵103×［1-22.1)01.01(1.110］＝103×［1-22.11.1×(1＋C110×0.01＋C210×0.012＋…)］≈103×［1-22.11.1×1.1045］≈4.1，∴x≤4(公顷)．