角的概念与任意角的三角函数(2)

菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考第一节角的概念与任意角的三角函数（2）菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考从近两年高考看，三角函数的有关概念以客观题形式考查，一般是容易题，分值5分，命题内容主要以三角函数的定义为载体考查求值与化简，预计2013年高考仍会以三角函数定义为载体，渗透相关知识命题，考查分析问题的能力．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，它们都是以角为，以比值为的函数．自变量函数值菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的．由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cosα＝，sinα＝，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的、、．正射影(cosα，sinα)P(cosα，sinα)OMMPAT余弦线正弦线正切线菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考有向线段为正弦线有向线段为余弦线三角函数线有向线段为正切线MPOMAT菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．A．－55B.255C．－255D．－12解析由三角函数的定义可知，r＝5，cosα＝－15＝－55.答案A例1：菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝y16＋y2＝－255⇒y＝－8.答案－8例2：菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考三角函数的定义(1)(2011·课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45(2)(2012·佛山模拟)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第几象限？()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】(1)设终边上一点P(x0，y0)，由三角函数定义求tanθ，进而计算cos2θ的值；(2)由点P所在象限，先确定tanα与cosα的符号，再判定α终边所在象限．例3：菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考【尝试解答】(1)设点P(x0，y0)(x0≠0)是θ终边上一点，则y0＝2x0.由三角函数定义，tanθ＝y0x0＝2，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－221＋22＝－35.(2)∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，且cosα＜0，由tanα＜0，知α的终边在第二或第四象限，由cosα＜0，知α的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上，因此角α的终边在第二象限．【答案】(1)B(2)B菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考1．(1)已知角θ的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角θ的三角函数值．(2)在第(1)题中，利用整体思想，将齐次式化为正切．2．在第(2)题中，主要利用三角函数值在各象限的符号规律，但要注意角α是满足两个条件的公共解．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求4sinα－3tanα的值．【解】∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.则r＝22，∴sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.故4sinα－3tanα＝10＋15.菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[审题视点]作出满足sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考解(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考【训练4】求下列函数的定义域：(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴定义域为2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，∴－32＜sinx＜32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x2＋y2＞0)，则sinα＝yr、cosα＝xr、tanα＝yx分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考[解答示范]∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分)又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x，菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.(6分)当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sinα＝－66，tanα＝－55；(9分)当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，∴sinα＝－66，tanα＝55.(12分)菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考【试一试】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋45tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34，故sinα＋cosα＋45tanα＝－35＋45＋45×－34＝－25；菜单典例探究·提知能一轮复习·新课标·数学（理）（广东专用）课时知能训练网络构建·览全局高考体验·明考情自主落实·固基础策略指导·备高考取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，则sinα＝35，c