学科网备战高考数学不等式

3年高考2年模拟1年原创不等式1学科网备战高考数学不等式学科网学科网【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布学科网从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想．随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式.2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。学【考点pk】名师考点透析学科网考点一、不等关系与不等式学科网【名师点睛】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如0ba，Nnnnba中，注意后面大于０的条件，出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生．学科网【试题演练】学科网1、设Rba,，若0ba，则下列不等式中正确的是（）学科网A．0abB.033baC.0abD.022ba学科网2、已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()学科网A、22abB、22ababC、2211ababD、baab学科网解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。学科网点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a，b没有说明符号，注意不要错用性质。学科网二、一元二次不等式及其解法学科网【名师点睛】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解3年高考2年模拟1年原创不等式2含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．学科网（1）用图象法解一元二次不等式学科网教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解．学科网（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系学科网二次函数2(0)yaxbxca是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值0y的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值0y（0y≥）或0y（0y≤）的情况．一元二次方程20(0)axbxca的解对研究二次函数2(0)yaxbxca的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根12xx，是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法．学科网【试题演练】学科网1、不等式2xx的解集是（）学科网A．(0)，B．(01)，C．(1)，D．(0)(1)，，学科网解：原不等式可化为x2－x＞０，即x（x－１）＞０，所以x＜０或x＞１，选（Ｄ）．学科网点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可．学科网2、“2x”是“260xx”的什么条件……（）学科网A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要学科网3、不等式224122xx的解集为．学科网解：原不等式变为224122xx，由指数函数的增减性，得：学科网2241(3)(1)0xxxx[3,1]x，所以填：[3,1]。学科网点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。学科网4、已知集合2540Axxx|≤，2|220Bxxaxa≤，若BA，求实数a的取值范围．3年高考2年模拟1年原创不等式3结合二次函数的图象，得(1)0(4)021420ffa，，，，≥≥≤≤≥即22122048201444(2)0aaaaaaa，，，，≥≥≤≤≥解得1827a≤≤．学科网综上可知a的取值范围是1817，．学科网点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。学科网三、基本不等关系学科网【名师点睛】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。学科网利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：学科网（1）当ab，都为正数，且ab为定值时，有2abab≥（定值），当且仅当ab时，等号成立，此时ab有最小值；学科网（2）当ab，都为正数，且ab为定值时，有2()4abab≤（定值），当且仅当ab时，等号成立，此时ab有最大值．学科网创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．学科网【试题演练】学科网1、已知xy+R，，且14yx，则xy的最大值是．学科网解：211414()44216xyxyxy，当且仅当x=4y=12时取等号.学科网点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。学科网2、已知则且,2,0,0baba（）学科网3年高考2年模拟1年原创不等式4(A)21ab(B)21ab(C)222ba(D)322ba学科网解：由0,0ab,且2ab，∴222224()22()abababab，∴222ab。学科网点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。学科网3、已知,,xyzR，230xyz，则2yxz的最小值．学科网四、绝对值不等式学科网【名师点睛】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。高考多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。学科网【试题演练】学科网１、“|x－1|＜2”是“x＜3”的（）学科网A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件学科网解：由|x－1|＜2得－１＜x＜３，在－１＜x＜３的数都有x＜３，但当x＜３时，不一定有－１＜x＜３，如x＝－５，所以选（Ａ）．学科网点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。学科网2、不等式22xx的解集为()学科网（Ａ）1,2（Ｂ）1,1（Ｃ）2,1（Ｄ）2,2学科网解：∵22xx∴222xx即222020xxxx，12xRx，学科网∴1,2x故选A；学科网点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；学科网学科网五、不等式的综合应用学科网【名师点睛】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。学科网（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；学科网3年高考2年模拟1年原创不等式5（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.学科网【试题演练】学科网1.如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,xy(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.学科网（Ⅰ）求,xy的关系式，并求x的取值范围；学科网（Ⅱ）问,xy分别为多少时用料最省?学科网解：（Ⅰ）由题意得：18(0,0),22xxyxxy4分学科网48xxy学科网（Ⅱ）设框架用料长度为l，则222lxyx316(2)2xx4642842.学科网当且仅当3162,8422xxx（）,22,y满足042.x学科网答：当842x米，22y米时，用料最少.学科网学科网3年高考2年模拟1年原创不等式6学科网显然当且仅当t=0，即a=b=21时，等号成立.证法三：(比较法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤41，425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤41，22225(1)1139(1)1251611(1)1441644abababababab425)1)(1(bbaa即。证法五：(三角代换法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2)，.425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.3年高考2年模拟1年原创不等式73.已知函数f(x)=x3+x3，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（xn,f(xn)）两点的直线平行（如图）.求证：当n*N时，(Ⅰ)x;231212nnnnxxx（Ⅱ）21)21()21(nnnx。而221132nnnnxxxx21142nnxx21