复利数学第三章讲义

第三章收益率3-1贴现现金流分析法现金流出：O0O1O2…On-1On现金流入I0I1I2…In-1In时间012…n-1n图(3-1)投资记录时间图假设：有一从1994年1月1日到2004年1月1日的投资项目，投资人需要在项目启动之时（1994年1月1日）投入100万元，一年后（1995年1月1日）需要追加投资80万元，以后每年（1996、1997、…、2003年的1月1日）还需要投入10万元。该项目将从第2年末（1996年1月1日）开始产生回报，假设从第二年末到第9年末（2003年1月1日）可收回的投资回报每年增加10万元，第2年末的投资回报为20万元。另外，第10年末（2004年1月1日）项目结束时还可收回120万元。日期投资支出Ot投资回报It1994-1-11001995-1-1801996-1-110201997-1-110301998-1-110401999-1-110502000-1-110602001-1-110702002-1-110802003-1-110902004-1-1120总计260560表(3-1)原始记录表(单位：万元)表(3-2)净现金流表(单位：万元)时刻tCtRt0100-100180-802-10103-20204-30305-40406-50507-60608-70709-808010-120120总计-300300令P(i)=0ntttvR(3-1)3-2收益率的定义使得净现值为0的利率i为相应投资项目的收益率P(i)=0ntttvR=0(3-2)例3-1某人提供10000元的贷款，其还款要求是，在5年后还10000元并在10年后再还10000元。求该贷款人实际要求的收益率。例3-2利用试错法，计算表(3-2)中现金流的收益率。3-3收益率的唯一存在性对照着收益率的定义，容易发现可能存在如下的问题：收益率可能不存在！对于同一个投资项目，可能同时存在多个收益率，即收益率可能不唯一！例3-3某两人达成如下的一项协议：甲先借9950元给乙，两年后再给乙15000元；作为回报，一年后乙支付24500元给甲。求该项协议中，甲（从而也是乙）的收益率。解：根据题意，甲的净流入现金流为：R0=-9950，R1=24500，R2=-15,000于是由0ntttRv=å=0有，-9950+24500v-15000v2=0即，9950(1+i)2-24500(1+i)+15000=0解得：i=32.17%或14.06%例3-4一家存贷合作社宣布同时提供存贷业务，存贷款利率由双方面议，对同一个客户，存、贷利率相等，合作社还公布其所成交的每一笔业务的收益率。现有某人在一年后需用有2万元资金，于是想到这家存贷合作社贷款。该人现有1万元，并计划在2年后将所需还款一次还清。在向合作社说明了来意和还款计划后，合作社惊奇地发现，除非存贷利率为0，否则无论如何都无法公布该笔业务的收益率，为什么？解：假设存贷合作社同意该人的全部要求，即在0时接受其1万元的存款，并在1年后提供2万元的贷款，余下所需的还款在2年末一次还清，假设所需还款量为X，因为R0=-1，R1=2，R2=-X，所以，收益率由下式确定：-1+2v-Xv2=0或(1+i)2-2(1+i)+X=0于是1+i=2442X=11X显然，如果X1，则有两个收益率存在，如果X1，则不存在收益率，因此，只有当X=1时，有一个收益率，而该收益率正好又为0。例3-5章三向吕四借款1000元，年利率为10%，转手贷给汪五，年利率为15%，期限都为一年。计算章三的收益率。收益率唯一存在的充分条件(一)若在整个投资期间，如果净现金流的方向只改变一次，那么该项目的收益率唯一存在。具体地说，对于一项0~n上的项目，如果存在一个时刻t*，使在t*之后的净现金流方向是一致的，t*之前的净现金流向也是一致的，且这两个现金流方向相反，则收益率必然是唯一存在的。用符号表示就是：存在0t*n，使当0tt*时，Rt0，而当t*tn时，Rt0。收益率唯一存在的充分条件(二)若在整个投资期间，在投资项目结束前，投资项目的余额总为正，则如果存在收益率，那么收益率一定是唯一的。3-4再投资收益率本金返还：1利息流：iii…iiii时间0123…n-2n-1n投资支出：1图(3-2)单位投资产生的现金流积累值1+njis(3-3)该投资人的净回报现金流为R0=-1，Rn=1+njis，因此，投资收益率k满足：(1+njis)nkv=1(3-4)k=11nnjis(3-5)容易验证，k介于j和i之间。本金偿还：n利息流：i2i…(n-4)i(n-3)i(n-2)i(n-1)i时间：0123…n-3n-2n-1n投资支出：111…1111图(3-3)年金投资产生的现金流积累值为n+1()njiIs(3-6)投资者的净回报现金流，R1=R2=…=Rn-1=-1，Rn=n-1+1()njiIs，收益率k满足：[n+1()njiIs]nkv=nka或n+1()njiIs=nks同样地，k介于j和i之间。例3-6某人以价格P购买一项期末付10期年金，该人每年末得到年金付款1000元，同时以8%的利率再将其投资出去，这些投资所产生的年度利息又以4%的利率再投资。十年后，收回全部投资的本利X，并发现总的收益率为10%。求P和X。例3-7某人贷出款项300万元。本金利率为10%，期限为8年，若期间将所得的还款以4%的利率再投资，问在以下各种还款方式下，贷款人的投资收益率分别为多少？（1）以年金方式，每年末收取还款一次，每次还款额相同；（2）以等价的贴现方式，在贷款开始时一次性扣除全部利息，本金到期偿还；（3）每年末收取贷款本金当年自增利息，本金到期偿还；（4）贷款本利在到期时一次性收回。3-5基金收益率的近似计算假设：投资者在期初投资A元购买基金，或期初投资者基金帐户的余额为A；在期末投资者基金帐户的余额为B，或投资者在期末可收回的投资回报为B；用I表示这一期内总的投资(基金投资)自增利息量；用Ct表示t时追加的净投资金额，0t1；Ct可以为负值，负的Ct表示在t时有净的资金撤出；用C表示在此期间追加的净投资资金的总和，即C=ΣCt；用i记年度收益率。B=A+C+I(3-7)由收益率的定义，有0=ΣRtvt=-A-ΣCtvt+Bv(3-8)0=-A(1+i)-ΣCt(1+i)1-t+BAi+ΣCt(1+i)1-t=B-A(3-9A)考虑用单利作为复利的近似Ai+ΣCt[1+(1-t)i]≈B-A或Ai+iΣCt(1-t)≈B-A-ΣCt=I(3-10)i≈I/[A+ΣCt(1-t)](3-11)用1/2来取代所有的ti≈I/(A+C/2)=2I/(A+B-I)(3-12)用k取代ti≈(1)ttIACt≈(1)ttIAkC=(1)(1)IkAkBkI(3-13)考虑支付连续进行的情况。Bn=B0(1+i)n+01()nnttCidt-+ò(3-16)再考虑利息强度也随时间连续变化的情况，Bn=B00exp()nsds+0exp()nntstCdsdt(3-17)sdBds=δsBs+Cs(3-18)例3-8某股票市场投资者，在年初时，该投资者的股票帐户余额为83700元，2个月后，该投资者追加投资20000元，在第4个月末再追加投资资金8000元，第6个月末撤回资金7000元，9月末再撤回资金23000元。这样到年末，股票帐户余额为91680元。计算该投资者这一年来股市投资的收益率。3-6时间加权收益率00.511.500.51每股基金价格图(3-4)基金的价格走势图时间加权方法计算收益率同样是基于投资者的投资记录，其做法可以被描述为：首先，根据投资者的现金流动情况，将整个投资期划分为若干个小期，以每个有现金流动的时刻为划分点，然后根据投资记录，确定每个小期上的投资收益率，因为相对于每个小期来讲，期间没有任何的存取，所以适用一次借贷的模型，因此各小期上的小期积累因子即为相应期末的余额除以期初用于本小期积累的余额，所有这些小期的积累因子的乘积减掉1即为时间加权收益率。时间点：t0=0t1t2t3…tm-1tm=1追加投资额C′1C′2C′3…C′m-1基金余额B′0B′1B′2B′3…B′m-1B′m各投资期间收益率j1j2j3jm图(3-5)投资帐户记录图具体地，假设在某个投资期间，根据某投资者的投资记录，有如下数据：1．分别在t1、t2、t3、…、tm-1时的净投资额C′1、C′2、C′3、…、C′m-1，其中0t1t2t3…tm-11；2．分别在t0=0、t1、t2、t3、…、tm-1、tm=1时的基金余额B′0=A、B′1、B′2、B′3、…、B′m-1、B′m=B；1+jk=11kkkBBCk=1，2，…，m(3-19)其中jk为(tk-1，tk)上的收益率，并令C′0=0。最后，整个投资期的时间加权收益率i满足1+i=(1+j1)(1+j2)…(1+jm)，即：i=(1+j1)(1+j2)…(1+jm)-1(3-20)=111()mkkkkBBc=--¢ⅱ+Õ-1(3-21)例3-9A某投资者有如下的投资记录：1月1日，投资帐户余额10万元，5月1日余额增加至11.2万元，此时投资者追加投入3万元，到11月1日，帐户余额降到12.5万元。此时投资者从中撤回资金4.2万元。到年末帐户余额又升至10万元。分别用投资额加权方法和时间加权方法，计算该年度投资收益率。例3-9B如同例3-9A中的投资环境，投资者的投资记录变为：1月1日，投资帐户余额10万元，5月1日余额增加至11.2万元，此时投资者撤回资金4.2万元，到11月1日，帐户余额降到61619.72元。此时投资者在追加投资3万元。到年末帐户余额又升至110385.20元。分别用投资额加权方法和时间加权方法，计算该年度投资收益率。例3-9C还是如同例3-9A中的投资环境，投资者的投资记录变为：1月1日，投资帐户余额10万元，5月1日余额增加至11.2万元，此时投资者撤回资金1万元，到11月1日，帐户余额降到89788.73元。此时投资者再撤回1万元。到年末帐户余额又升至96131.00元。分别用投资额加权方法和时间加权方法，计算该年度投资收益率。3-7投资组合法与投资年度法年度yy+1y+2…y+m-1y+my+m+1y+m+2…在y年投资的各年收益率i1yi2y…imyiy+miy+m+1图(3-5)y年的存款所使用的利率图表(3-3)投资年度方法使用的利率表投资年度利率原始投资的日历年yi1yi2yi3yi4yi5y投资组合利率iy+5投资组合利率的日历年份y+5z8.00%8.10%8.10%8.25%8.30%8.10%z+5z+18.25%8.25%8.40%8.50%8.50%8.35%z+6z+28.50%8.70%8.75%8.90%9.00%8.60%z+7z+39.00%9.00%9.10%9.10%9.20%8.85%z+8z+49.00%9.10%9.20%9.30%9.40%9.10%z+9z+59.25%9.35%9.50%9.55%9.60%9.35%z+10z+69.50%9.50%9.60%9.70%9.70%z+710.00%10.00%9.90%9.80%z+810.00%9.80%9.70%z+99.50%9.50%z+109.00%例3-10将z=1994代入表(3-3)中。假设某人在1996年1月1日存入投资基金3万元，分别求1998年12月31日、2001年12月31日和2003年12月31日的积累值。例3-11某人于z年初投资100000元。根据表(3-3)中的收益率，计算第一年所分得的利息、第5年末的投资帐户积累值，第8年末的投资帐户积累值，以及第9年的所分得的利息。3-8资本预算收益率法净现值法例3-12A作为资本预算的练习，分析由表(3-2)给出的投资项目。表(3-