复利数学第五章讲义

第五章债券与其它证券5-1债券的定价假设：（1）发行者在规定日期肯定偿还债务；（2）首先讨论有固定的到期日的债券；（3）首先讨论在息付日息票刚刚支付后的债券的价格。有关符号P：债券的价格；F：债券的面值；C：债券的偿还值；假设C=F。r：债券的息率；Fr：息票额；g：债券的修正息率；i：债券的收益率；n：支付期数；K：=Cvn；G：基价CFrFr…………FrFr012…………n-1nP图5-1债券现金流基本公式价格=未来现金流的现值=未来息票的现值+偿还值的现值(5-1)所以P=Frna+Cvn=Frna+K(5-2)溢价/折扣公式P=Frna+Cvn=Frna+C(1-ina)=C+(Fr–Ci)na(5-3)基价公式P=Frna+Cvn=Gina+Cvn=G(1-vn)+Cvn=G+(C-G)vn(5-4)Makeham公式P=Cvn+Frna=Cvn+Cg1nvi=Cvn+gi(C-Cvn)=K+gi(C-K)(5-5)例5-1面值1000元的20年期债券，附有年度息票，息率为9%，偿还值为1120元。某人以价格P在发行日购买此债券，已知该人购买债券的收益率为8%，分别用上述四个公式，求P。5-2溢价与折扣溢价＝P-C＝(Fr-Ci)nia=C(g-i)nia(5-6)折扣＝C-P＝(Ci-Fr)nia=C(i-g)nia(5-7)•如果债券以溢价发行，那么，在购买这项（债券）资产时将出现“损失”（价格大于价值），损失的大小等于溢价；•如果债券以折扣发行，那么，在购买这项（债券）资产时将出现“利润”（价格小于价值），利润的大小等于折扣。分期偿还方法•将一项债券交易看成是两项借贷交易的组合第一项还款CiCiCi…………CiCi+C第二项还款RRR…………RR0123…………n-1n第一项贷款C第二项贷款P-C图5-2债券的分解图表5-1：第一项贷款的分期偿还表时刻支付所含利息支付所含本金支付帐面值0C1CiCi0C2CiCi0C:::::n-1CiCi0CnCiCi0C总计nCinCi0注：这里没有包括最后在n时的偿还本金的支付C。表5-2：第二项贷款的分期偿还表时刻支付所含利息支付所含本金支付帐面值0P－C＝C(g-i)nia1C(g-i)C(g-i)(1-vn)C(g-i)vnC(g-i)1nia2C(g-i)C(g-i)(1-vn-1)C(g-i)vn-1C(g-i)2nia:::::n-1C(g-i)C(g-i)(1-v2)C(g-i)v2C(g-i)1ianC(g-i)C(g-i)(1-v)C(g-i)v0总计nC(g-i)C(g-i)(n-nia)C(g-i)nia将上面两张分期偿还表合并，就可以得到债券的分期偿还表。表5-3：债券的分期偿还表时刻支付所含利息本金调整帐面值0P－C+C＝P1Ci+C(g-i)=CgCi+C(g-i)(1-vn)=C[i+(g-i)(1-vn)]C(g-i)vnC[1+(g-i)1nia]2CgC[i+(g-i)(1-vn-1)]C(g-i)vn-1C[1+(g-i)2nia]:::::n-1CgC[i+(g-i)(1-v2)]C(g-i)v2C[1+(g-i)1ia]nCgC[i+(g-i)(1-v)]C(g-i)vC总计nCgnCg-C(g-i)niaC(g-i)nia=P-C注：这里没有包括在赎回日的偿还值C，只考虑了各次息票支付，因为我们主要的目的是为了划分息票，进行帐面值调整。分期偿还表中各项目之间的关系：I1=iP=Ci+iC(g-i)nia=C[i+(g-i)(1-vn)](5-8)票息减去利息收入即等于本金调整值，P1=Cg-C[i+(g-i)(1-vn)]=C(g-i)vn(5-9)期末帐面值等于期初帐面值减本期的本金调整，B1＝P-C(g-i)vn=C[1+(g-i)1nia](5-10)依此类推，可以得到如表5-3所示的全部各项。•例5-2A：考虑一项以溢价购买的债券，面值1000元，期限3年，息率为每年计息两次的年名义利率12%，收益率为每年计息两次的年名义利率8%。建立该债券的分期偿还表。•例5-2B考虑以折扣购买的面值1000元的3年期债券，票息率为每年计息两次的年名义利率8%，收益率为每年计息两次的年名义利率12%。建立该债券的分期偿还表。•例5-2C面值1000元的3年期债券、票息率为每年计息两次的年名义利率12%、收益率为每年计息两次的年名义利率8%，若投资者可通过利率为每年计息两次的年名义利率6%的偿债基金来偿还溢价，求债券的价格。5-3息付日之间债券的价值•令Bt和Bt+1分别表示相邻两个息付日上债券的价格或帐面值，Fr为一期的息票金额，显然，在收益率i不变的假设下，有：•Bt+1=Bt×(1+i)-Fr(5-11)债券的交易价格为平价，并记为Bft+k；不含自增息票的价格为市价，记为Bmt+k；Bft+k=Bmt+k+Frk(0k1)(5-12)平价8509009501000105001/213/225/23市价图5-3平价与市价的比较图理论法平价=期初帐面值在收益率下的积累值，即Bft+k=Bt(1+i)k(5-13)Fr=1(1)0tMedt=M1s=Mi/δ(5-14)于是M=δFr/i(5-15)从而Frk=()0kktMedt=δFr/i1ke=Fr×iik1)1((5-16)从而市价或帐面值为Bmt+k=Bft+k-Frk=Bt(1+i)k-Fr×iik1)1((5-17)实践法•Bft+k=Bt(1+ki)(5-18)•Frk=kFr(5-19)•Bmt+k=Bt(1+ki)-kFr=(1-k)Bt+kBt+1(5-20)半理论方法•Bft+k=Bt(1+i)k(5-13)•Frk=kFr(5-19)•Bmt+k=Bt(1+i)k-kFr(5-21)息付日之间债券的溢价和折扣溢价=市价-偿还值=Bmt+k-C，如果gi(5-22)折扣=偿还值-市价=C-Bmt+k，如果gi(5-23)例5-3分别利用上述三种方法，计算例5-2A中债券，购买4个月后的平价、自增息票和市价。5-4收益率的确定•在息付日购买的债券的收益率•息付日之间购入债券的收益率在息付日购买的债券的收益率•插值法•代数法•叠代法代数法由P=C+C(g-i)na，有(g-i)na=CCP。令k=CCP，则有i=g-nka(5-24)将1na关于i作泰勒展开，1na=221111212nniin，取该展开式的前两项作为近似，有i≈1112ngkin轾+犏-+犏臌(5-25)整理得i≈112kgnnkn-++(5-26)债券推销员公式i≈112kgnk-+(5-28)叠代法•构造型如i=f(i)的叠代公式[如式(5-24)]；•选一个i0，然后由is+1=f(is)，可以得到系列i0，i1，…，is，is+1，…；•在经过足够多的次数的计算后，可以得到具有任意精度的收益率。息付日之间购入债券的收益率•通常先利用半理论方法将在中间的购买价格换算成在上一个息付日上的相应的价格，然后再用叠代的方法计算收益率。具体的叠代比较复杂，对于具体的问题，通常利用试错的方法往往更容易很快得到所需精度的收益率。考虑再投资的收益率考虑价格为P的债券，假设其有n期息票，每期末得到Fr的息票，债券在n期末到期并以C赎回，息票以利率j再投资。用i′表示考虑了再投资的债券收益率，那么i′将满足：P(1+i′)n=Frnjs+C(5-30)或i′=11nnjFrsCP(5-31)•例5-4面值1000元的20年期债券，附有8%的年度息票，到期以1050元赎回。该债券的卖价为950元，求购买该债券的收益率。•例5-5假设例5-4中的债券是2003年1月1日发行的，在2005的5月15日其市场成交价为1000元，计算此时购买该债券的收益率。•例5-6假设例5-4中的债券的息票只能以3%的年度实质利率再投资，求考虑了再投资的收益率。5-5通知偿还债券如果在所有赎回日的赎回值（包括到期日）都相等1．当收益率小于修正息率（即，ig，债券以溢价发行）时，P(m)关于m单增，所以最小可能的m是对投资者最不利的，也就是说，此时假设赎回日是最早可能的日期；2．反过来，如果收益率大于修正息率（即，ig，债券以折扣发行）时，那么P(m)关于m单减，所以最大可能的m是对投资者最不利的，也就是说，此时假设赎回日是最后的日期。•例5-7某投资者购买了一项15年期的债券，面值为10万元，并附有8%的息率，息票半年度支付一次。从第24个息付日开始，该债券可以在以后（包括第24个息付日）任何一个息付日以面值通知偿还。为了保证半年度转换收益率不低于10%，求投资者可以接受的最高价格。例5-8某20年期债券面值1000元，并附有8%的年度息票。从第10年开始，该债券可以在各个息付日通知偿还，各个息付日的提前赎回值分别为：在第10到第14个息付日为1100元；在第15个至19个息付日为1150元；到期时为1200元。（1）若投资者想要保证6%的收益率，求投资者愿付的最高价格。（2）若投资者想要保证10%的收益率，求投资者愿付的最高价格。5-6系列债券•系列债券，又称分期偿还债券，是指发行人发行的具有一系列不同赎回日的债券。Makeham公式，是实务中计算系列债券价格最常用的公式。考虑某系列债券，该债券有m个不同的赎回日，第一个赎回日对应债券的买价、偿还值和偿还值的现值为P1、C1和K1，第二个赎回日对应债券的买价、偿还值和偿还值的现值为P2、C2和K2，依此类推，第m个赎回日的为Pm、Cm和Km，由Makeham公式，有P1=K1+g(C1-K1)/iP2=K2+g(C2-K2)/i......Pm=Km+g(Cm-Km)/i求和得P'=K'+g(C'-K')/i(5-32)其中P'=ΣPt是整个系列债券的价格，C'=ΣCt，K'=ΣKt。由于C'和K'通常比较容易得到，所以式(5-32)往往比将各个价格直接相加的算法更实用。•例5-9有一项总面值为10000的系列债券，附有8%的年度息票，自发行后从第11年末开始，一直到第20年末分10次赎回，每年末的赎回值为1100，债券购买时的收益率为10%，求该系列债券的价格。5-7一些一般情况（1）收益率的计息频率与息票的支付频率不同的情况；（2）息率不为常数的情况；（3）收益率不为常数的情况。1．收益率的计息频率与息票的支付频率不同的情况首先，考虑每个息票期内有k个收益率转换期的情况。假设债券有n个收益率转换期，其中每k个收益率转换期的期末支付一次息票Fr，因此，总共有n/k次息票支付，该债券定价的基本公式为P=Frnkas+Cvn(5-33)可以得到与式(5-3)、式(5-4)、式(5-5)类似的其他三个债券的定价公式。接下来，考虑每个收益率转换期含有m个息票支付期的情况。假设债券有n个收益率转换期，其中每1/m个收益率转换期的期末支付一次息票Fr/m，因此，总共有nm次息票支付，从而该债券定价的基本公式为P=Fr()mna+Cvn(5-34)同样，也可以得到与式(5-3)、式(5-4)、式(5-5)类似的其他三个债券的定价公式。2．息率不为常数的情况•如果息率不为常数，那么息票将构成一项变额年金，变额年金的计算可以利用2-8—2-9节所讨论的方法。债券的价格为息票的现值和偿还值的现值之和。•例5-10某公司决定发行一项20年期债券，该债券的面值为100并附有每年末支付的年度息票，第一年的息率为10%，以后每年的息率比上一年的增加1%，债券的偿还值为110。为使收益率为8%，求债券的价格。3．收益率不为常数的情况•如果收益率不为常数，则需要利用2-6节讨论的方法来计算息票的现值，而偿还值的现值的计算则可以利用1-6节中讨论过的方法。•例5-11对例5-1中的债券，如果前10年的收益率为7%，后10年的收益率为9%，求此时债券的价格。5-8其他证券1．优先股和永久债券