一元二次方程重点难点习题

例1】2010，西城，一模已知：关于x的方程23(1)230mxmxm．032132mxmmx⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；解：（1）分两种情况：当0m时，原方程化为033x，解得1x，（不要遗漏）∴当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，∵222[31]4236930mmmmmm△≥.∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.（2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程)0(012abxax有两个相等的实数根，求4)2(222baab的值。【关键词】分式化简，一元二次方程根的判别式【答案】解：∵)0(012abxax有两个相等的实数根，∴⊿＝240bac，即240ba．∵2222222222244444)2(aabbaaabbaaabbaab∵0a，∴4222abaab1.(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？【答案】（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则（30－5.0x）×（10＋x）－（30－5.0x）×1－5.0x×0.5＝275，2x2－11x＋5＝0，∴x＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.2010年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2m下降到5月份的12600元/2m⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m？请说明理由。【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）解：设4、5月份平均每月降价的百分率为x，根据题意得214000(1)12600x化简得2(1)0.9x解得120.05,1.95(xx不合题意,舍去)因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%。（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为212600(1)126000.91134010000x由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为x，根据题意，得：1726)1(13762x∴25.1)1(2x，∴1.11x，∴%101.01x，1.21x（不合题意，舍去）．答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%．(2)1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.6≈5138(亿)答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元【例2】1x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221xx（2）21xx（3）2222133xxx略解：（1）2221xx＝212212)(xxxx＝417（2）21xx＝212214)(xxxx＝213（3）原式＝)32()(2222221xxxx＝5417＝4112【例3】已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。分析：有实数根，则△≥0，且16212221xxxx，联立解得m的值。略解：依题意有：0)5(4)2(4165)2(22221222122121mmxxxxmxxmxx由①②③解得：1m或15m，又由④可知m≥49∴15m舍去，故1m探索与创新：【问题一】已知1x、2x是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。略解：由1632m≥0得m≤21。121mxx，22141mxx≥0∴1x与2x可能同号，分两种情况讨论：（1）若1x＞0，2x＞0，则002121xxxx，解得m＜1且m≠0∴m≤21且m≠0（2）若1x＜0，2x＜0，则002121xxxx，解得m＞1与m≤21相矛盾综上所述：当m≤21且m≠0时，方程的两根同号。【问题二】已知1x、2x是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值。略解：（1）由k≠0和△≥0k＜0∵121xx，kkxx4121∴2122121219)(2)2)(2(xxxxxxxx2349kk∴59k，而k＜0∴不存在。（2）21221xxxx＝4)(21221xxxx＝14k，要使14k的值为整数，而k为整数，1k只能取±1、±2、±4，又k＜0∴存在整数k的值为－2、－3、－512.（2011南充市中考）18.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值。12..解：∵（1）方程有实数根∴⊿=22-4（k+1）≥0………………(2分）解得k≤0K的取值范围是k≤0……………………………………………………….…(4分)（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1x2=k+1…………（5分）x1+x2-x1x2=-2,+k+1由已知，得-2,+k+1＜-1解得k＞-2……………………….（6分）又由（1）k≤0∴-2＜k≤0……………………….（7分）∵k为整数∴k的值为-1和0……………………….（8分）14.（2011义乌市中考）19．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元.据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加▲件，每件商品盈利▲元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？14.解：（1）2x50－x（每空1分）………………………………2分（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100………………………4分化简得：x2－35x+300=0解得：x1=15，x2=20………………………………5分∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去.∴x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.……………6分若关于x的一元二次方程0342kxx的两个实数根为1x、2x，且满足213xx，试求出方程的两个实数根及k的值.10.解:由根与系数的关系得:421xx①，21xx3k②…………………2分又∵213xx③，联立①、③，解方程组得1321xx………………………4分∴6313321xxk………………………………………………5分答：方程两根为12=3,=1;=6xxk.………………………………………6分9.（2011桂林市中考）23．（本题满分8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？9.解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，………………1分根据题意得，22000(1)2420x……………3分[来源:Z&xx&k.Com]得110%x，22.1x（舍去）…………5分[来源:Zxxk.Com]答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10﹪.…………6分（2）2012年需投入资金：22420(110%)2928.2（万元）…………7分答：2012年需投入资金2928.2万元.…………8分例2.分解因式：分析：形如的多项式，叫关于x，y的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：①双十字相乘法，②待定系数法，③公式法。解：解法1：∵∴解法2：设比较对应项系数∴解法3：整理为关于x的二次三项式令，则∴∴（2009年四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【答案】（1）△=[2（k—1）]2－4（k2－1）=4k2－8k+4－4k2+4=－8k+8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1．（2）假设0是方程的一个根，则代入得02+2（k－1）·0+k2－1=0，解得k=－1或k=1（舍去）．即当k=－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为x2－4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4．根与系数：2009年内蒙古包头）关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是（）A．1B．12C．13D．251.（2009年山东淄博）已知12xx，是方程220xxa的两个实数根，且12232xx．（1）求12xx，及a的值；（2）求32111232xxxx的值．2．(2009年广东中山)已知：关于x的方程2210xkx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值．3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.1.解：（1）由题意，得12122232.xxxx，解得121212xx，．所以12(12)(12)1axx．（2）法一：由题意，得211210xx．所以32111232xxxx=32211111223xxxxxx=21112211211xxxx．法二：由题意，得21121xx，所以32111232xxxx=11112(21)3(21)2xxxxx=2111122632xxxxx=1122(21)33xxx=1121242331211xxxxx．2.解：（1）2210xkx