一类绝对值函数最值问题的解法及其应用

一类绝对值函数最值问题的解法及其应用图解2013年湖南省高考数学应用题湖南省南县第一中学陈敬波（413200）在高中数学教材必修一与选修4-5中提到过绝对值函数，求含绝对值函数的最大值与最小值问题，是中学生学习中的难点问题，解决问题的常用方法是分类讨论去绝对值，化为分段函数，利用函数的图象求解，或利用绝对值的几何意义求其最值.在学习与教学过程中,我们应该充分利用函数的图象求解.本文侧重用函数的图象解答.例1.求函数f的最小值.思路一.(分类讨论法,目的是去掉绝对值,化为分段函数)f(x)=.作出函数的图象，由图1得:,ymin=3.思路二.利用绝对值的几何意义f(x)可表示为数轴上的动点M（X）到数轴上两定点A（-1）、B（2）的距离的和，由几何意义有，,f(x)min=3,例2.求函数f(x)=|x+3|-|x-1|的最大值与最小值思路一.分类讨论法f(x)=.作出函数的图象.由图得：1,f(x)max=4;x,f(x)max=4.注：通过两个绝对值函数的作图，我们发现函数图象在零点（使绝对值为零的x值）处图象的出现转折，函数图象是中间部分是线段，两端为射线的图形.下面例3进一步验证上面的结论.例3.作出下列函数图象，并指出它的最大值与最小值．（１）y=|x+10|+|x-14|+|x-3|,（２）y=|1-x|+|x|+|x-20|.分析：分类讨论，去掉绝对值，作出函数的图象.(1)由图3知：x=3时，ymin=24.(2).由图4得：x=1,y=20.例4．（2013年湖南省高考数学理20题）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图5所示的路径1231MMMMNMNN与路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.解:设点P的坐标为(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值和(记为d)的最小值.①当时,如图6.d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|令d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,由图3知x=3,d1(x)min=24.令d2(y)=2|y|+|y-20|,得，d2(y)②当时,由于“L路径”不能进入保护区，如图7.所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|此时d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|故d=d1(x)+d2(y).综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度值和最小.湖南高考特别注重对数学应用意识的考查，每年高考都要有一道依据现实生活背景，提炼相关数量关系，构造数学模型，解决数学问题的应用题，这是湖南高考的显著特征，也是湖南考生的难题.本题建模后,结合绝对值函数的图象求解显得简单而可行.