绝对值不等式的性质

绝对值不等式性质及解法绝对值不等式1、绝对值三角不等式O=a(a0)A(a)x|a|xA(a)B(b)|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a0)|a|A(a)问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具有怎样的关系？分ab0、ab0和ab=0三种情形讨论：Oxaba+bOxaba+b（1）当ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|（2）当ab0时，也分为两种情况：如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|Obaxa+b如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究：如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ababOxy这个不等式称为绝对值三角不等式。当向量a,b共线时，有怎样的结论？定理1的代数证明：2222220||,||()2||2||||(||||)||||abababababaabbaabbabab证明：当时，222222220,||()2||2||||||2||||(||||)||||,||||||,0abababababaabbaabbaabbababababab当时，所以当且仅当时，等号成立。问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|，|b|，|a-b|，|a+b|,之间的关系吗？|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|例1已知ε0，|x-a|ε,|y-b|ε，求证：|2x+3y-2a-3b|5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。yxDyxCyxBmymx.2.2.y-xA.)(,,:的是下列不等式中一定成立若例B【例2】已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.【例2】已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.变式训练2．若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.变式训练2．若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.例3(1)若|a|1，|b|1，比较|a＋b|＋|a－b|与2的大小，并说明理由；(2)设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：ax＋bx22.【解答】(1)不妨设|a|≥|b|，则(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a2－b2|＝4a24，所以|a＋b|＋|a－b|2.(2)ax＋bx2≤ax＋bx2am＋bm2am＋bm2.【点评】|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．本题是绝对值不等式性质的简单应用．绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．变式题[2009·靖江模拟]设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．【思路】变形使其能运用绝对值不等式证明．【解答】∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|，∵|x－a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1)|≤x－a＋2a－11＋2a＋1＝2(a＋1).【点评】||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|是直接证明含有绝对值不等式的重要依据，有些情况下，需将绝对值运算符号去掉，将问题转化后解决．条件|x－a|＜1在本题的求解过程中的运用也是本题的一个特色．例4．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．解析：(1)当x≤1时，f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3，当1x≤2时，f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1，当x2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3，所以f(x)＝－2x＋3x≤1，11x≤2，2x－3x2.图象如图所示：(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)．又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f(x)，解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，得12≤x≤52.nD.mnC.mnB.mnA.m)(,,,,ba.1:大小关系是之间的则已知补充练习nmbabanbabamDxyDxyCyyxxyxyxyxcoscos.coscos.coscosxB.cosy-A.cosx)()cos(cos),,2(,coscoscoscos,.22可写成则且满足如果实数Cmabxymymabyaxm求证设,,,2,2,0,.3小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。