二次根式复习讲义

二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式（1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10C、1aD、21a2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]举一反三：1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是（）A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠42、使代数式221xx有意义的x的取值范围是3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=5x+x5+2009，则x+y=解题思路：式子a（a≥0），50,50xx5x，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若11xx2()xy，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。4、已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求12ab的值。5、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。6、若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：aa()0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()aaa20．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()203.aaaaaa200||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若22340abc，则cba．举一反三：1、若0)1(32nm，则mn的值为。2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx的值为（）A．3B．–3C．1D．–13、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。（公式)0()(2aaa的运用）【例5】化简：21(3)aa的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式:23x=；4244mm=429__________,222__________xxx2、化简：33133、已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为（公式)0a(a)0a(aaa2的应用）【例6】已知2x,则化简244xx的结果是A、2xB、2xC、2xD、2x举一反三：1、根式2(3)的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a0，那么│2a－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若23a，则2223aa等于（）A.52aB.12aC.25aD.21a4、若a－3＜0，则化简aaa4962的结果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－2a5、化简2244123xxx得（）（A）2（B）44x（C）－2（D）44x6、当a＜l且a≠0时，化简aaaa2212＝．7、已知0a，化简求值：22114()4()aaaa【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______aa．【例8】化简21816xxx的结果是2x-5，x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4（C）x≥1（D）x≤11012aoba举一反三：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是（）Ａ．4a≥Ｂ．2a≤Ｃ．24a≤≤Ｄ．2a或4a【例9】如果11a2aa2，那么a的取值范围是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1举一反三：1、如果2693aaa成立，那么实数a的取值范围是（）.0.3;.3;.3AaBaCaDa2、若03)3(2xx，则x的取值范围是（）（A）3x（B）3x（C）3x（D）3x【例10】化简二次根式22aaa的结果是（A）2a(B)2a(C)2a(D)2a1、把二次根式aa1化简，正确的结果是（）A.aB.aC.aD.a2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，xxb＝；aa11)1(＝。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、)ba(17,54,b40,212,30,a45222中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A．7B．3C．12D．23、下列根式不是最简二次根式的是()A.21aB.21xC.24bD.0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)ba23(2)23ab(3)22yx(4))(baba(5)5(6)xy85、把下列各式化为最简二次根式：(1)12(2)ba245(3)xyx2【例12】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和2、在二次根式：①12；②32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是。3、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）11212（4）13550【例14】把下列各式分母有理化（1）328xxy（2）2ab（3）38xx（4）2525abba【例15】把下列各式分母有理化：（1）221（2）5353（3）333223举一反三：1、已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy（2）223xxyy2、把下列各式分母有理化：（1）ababab（2）2222aaaa（3）2222babbab小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a≥0，b0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a≥0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1)916(2)1681(3)1525(4)229xy(0,0yx)(5)12×632【例17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例18】化简：(1)364(2)22649ba)0,0(ba(3)2964xy)0,0(yx(4)25169xy)0,0(yx【例19】计算：(1)123(2)3128(3)11416（4）648【例20】能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是（）A、2xB、0xC、02xD、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．【典型例题】【例20】计算（1）11327520.53227；（2）12543102024553457；（3）11113275348532；（4）113326327284814723247【例21】（1）224344xyxyxyxy（2）abababab（3）3213273108334aaaaaaa（4）1142aabbab（5）3538154aaaaa（6）2xyyxxyyxxy知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、abbaabb3)23(2352、22(212+418－348)3、132xy·（-42yx）÷162xy4、673)32272(5、62332)(62332(）6、)54)(54()523(27、1110)562()562(8、)0()122510(9312mmmmmmm【例21】1．已知：，求的值．2．已知，求的值。3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有