弹簧摆运动的分析

湖南科技大学毕业设计（论文）二〇一三年五月二十日题目弹簧摆运动的分析作者王露莹学院物理学院专业物理学学号0908010231指导教师吴松安湖南科技大学毕业设计（论文）任务书物理学院物理系（教研室）系（教研室）主任:（签名）年月日学生姓名:王露莹学号:0908010231专业:物理学1设计（论文）题目及专题：2学生设计（论文）时间：自2013年3月1日开始至2013年5月30日止3设计（论文）所用资源和参考资料：（1）《大学物理》2011年第5期，不同控制参数下的弹簧摆。（2）《普通物理学》（程守洙）（3）《理论力学》（周衍柏）（4）《中国期刊网》（学校图书馆网页）4设计（论文）应完成的主要内容：对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论初始位置和弹簧长度、小球质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。5提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：（1）提交形式：论文（2）要求：①论文字数在7000字以上②论文要在5月30日前定稿③论文格式按照“湖南科技大学本科生毕业论文要求与撰写规范”撰写6发题时间：2013年1月15日指导教师：（签名）学生：（签名）湖南科技大学毕业设计（论文）指导人评语[主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价]指导人：（签名）年月日指导人评定成绩：湖南科技大学毕业设计（论文）评阅人评语[主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价]评阅人：（签名）年月日评阅人评定成绩：湖南科技大学毕业设计（论文）答辩记录日期：2013年6月4号学生：王露莹学号：0908010231班级：物理1班题目：弹簧摆运动的分析提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料：1设计（论文）说明书共页2设计（论文）图纸共页3指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语：[主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价]答辩委员会主任：（签名）委员：（签名）（签名）（签名）（签名）答辩成绩：总评成绩：i摘要本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论了初始位置和弹簧长度、振子质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。弹簧摆的径向振动时，小球的初始摆角对振子的振幅以及周期均没有影响；小球的质量、弹簧长度、弹簧劲度系数对振幅以及周期均有影响。弹簧摆的横向振动时，初始摆角对振子横向运动的周期没有影响，但是对振子横向运动的振幅有影响；弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅和周期有影响；弹簧长度对振子横向运动的振幅以及周期均有影响；小球质量对振子横向运动的振幅以及周期均有影响。关键字：弹簧摆；matlab；径向运动；横向运动；振幅；周期iiAbstractThispaperisaimedatthespringpendulumthismotionmodel,intheverticalplaneusingMATLAB,bynumericalcalculation,theradialvibrationandlateralvibrationoftwokindsofcircumstances,thevibrationcurveofthesystemisanalyzed,therelationshipbetweentheamplitude,periodandtheinitialvibrationsystemswingangle,springlength,ballmass,springstiffnesscoefficientobtained.Theradialvibrationofaspringpendulum,thereisnoeffectoftheinitialamplitudeofswingangleofballvibtratorandcycle;effectofballmass,lengthofspring,springstiffnesscoefficientoftheamplitudeandfrequencyof.Thetransversevibrationofaspringpendulum,didnotaffecttheamplitudeofballmassandspringstiffnesscoefficientofvibration,butthecycleofvibrationeffect;noeffectsofperiodicinitialswingangleofthevibrator,buttheamplitudeofvibrationisinfluencedbythelengthofthespring;theamplitudeandperiodoftheeffectofvibration.Keyword:springpendulum;MATLAB;radialmotion;lateralmotionamplitude;cycle;文中图3.14和图3.16，有问题，对不上，再画一次，检查一下。即：原图3.8和图3.8*湖南科技大学本科生毕业设计（论文）iii目录第一章前言………………………………………………………………………………1第二章弹簧摆的径向运动…………………………………………………………22.1弹簧摆的动力学方程…………………………………………………………22.2数值分析与讨论…………………………………………………………………32.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………32.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响……………42.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………53.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响…………………62.3小结………………………………………………………………………………7第三章弹簧摆的横向运动……………………………………………………………83.1数值分析与讨论…………………………………………………………………93.1.1分析初始摆角对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………93.1.2分析弹簧劲度系数对振子横向运动的振幅、周期的影响………………113.1.3分析弹簧长度对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………133.1.4分析小球质量对振子横向运动的振幅、周期的影响……………………153.2小结……………………………………………………………………………17第四章总结……………………………………………………………………………18参考文献……………………………………………………………………………………19致谢…………………………………………………………………………………………20湖南科技大学本科生毕业设计（论文）11第一章前言物体在一定位置附近所作的往复运动称为机械振动。这种振动现象在自然界是广泛存在的。例如，摆的运动，一切发声体的运动，机器开动时各部分的微小颤动等都是机械振动。在不同的振动现象中，最基本最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动，弹簧振子和小角度单摆就是简单的简谐振动。对于弹簧振子和小角度单摆，在普通物理教材[1]中，作为典型例子进行了讨论分析，而弹簧振子和单摆的合成弹簧摆则没有讨论。文献[2]由初值用差分递推方法模拟弹簧摆的运动，把小球的运动分为横向和径向两个方向，研究了初始摆角和劲度系数对弹簧摆运动的影响。文献[3]从系统的动力学方程出发，并以频率比（弹簧振子固有频率与单摆固有频率之比）作为控制参数，利用Matlab软件对不同控制参数和初始摆角下的弹簧摆进行了数值模拟，直观地研究了弹簧摆的运动。本文对弹簧摆在竖直平面内运动这一物理模型，分别对其径向运动和横向运动，利用matlab，通过数值计算的方法，求解振动微分方程，分析系统的振动曲线，讨论初始位置和弹簧长度、小球质量、弹簧劲度系数对系统振动的影响。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）2第二章弹簧摆的径向运动2.1弹簧摆的动力学方程如图2.1所示，弹簧摆是由轻质弹簧和悬挂的小球构成。弹簧的劲度系数为k，原长为l0，小球的质量为m，直径忽略不计，可看作质点。2.1弹簧摆如图所示，若以悬点为原点O，原点到小球的距离为r，弹簧与竖直方向的夹角为θ，建立极坐标系，由牛顿第二定律，有2()cos()krbmgmrr(2.1)sin(2)mgmrr(2.2)则极坐标系中弹簧摆系统的动力学微分方程为2()coskrrrbgm(2.3)2sinrgrr(2.4)下面利用matlab，通过数值分析的方法，求解振动微分方程(2.3)和(2.4)，分析弹簧摆的径向运动的振动曲线，来讨论小球初始摆角0和弹簧长度0l、小球质量m、弹簧劲度系数k对系统振动的影响。oxθkrmyFθmg湖南科技大学本科生毕业设计（论文）32.2数值分析与讨论2.2.1分析初始摆角对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.01，0=1805或18015，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.2、图2.3所示。024681012141618200510152025t/sr/m图2.2取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.01，0=1805，弹簧摆的径向振动曲线024681012141618200510152025t/sr/m图2.3取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.01，0=18015，径向振动曲线结论1：由图2.2和图2.3，我们可以看知：小球在径向作周期运动，初始摆角0对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均没有影响。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-4-2.2.2分析弹簧劲度系数对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg，0l=1.0m，0=1805，k=0.01或0.05，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.4、图2.5所示。024681012141618200510152025t/sr/m图2.4取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.01，0=1805，径向振动曲线024681012141618200.511.522.533.544.55t/sr/m图2.5取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.05，0=1805，径向振动曲线结论2：由图2.4和图2.5，我们可以看知：小球在径向作周期运动，弹簧劲度系数k对弹簧摆径向的振幅以及周期均有影响，k越大，弹簧摆的周期越短且径向振幅越小。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-5-2.2.3分析弹簧长度对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取m=0.01kg，0=1805，k=0.01，0l=1m或者5m，可得到弹簧摆的径向振动曲线即r-t曲线，如图2.6、图2.7所示。024681012141618200510152025t/sr/m图2.6取m=0.01kg，0l=1.0m，k=0.01，0=1805，径向振动曲线02468101214161820051015202530t/sr/m图2-7取m=0.01kg，0l=5.0m，k=0.01，0=1805，径向振动曲线结论3：由图2.6和图2.7，我们可以看知：小球在径向作周期运动，弹簧长度0l对弹簧摆径向运动的振幅以及周期均有影响，0l越大，径向振幅越大，周期越大但变化不很大。湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-6-2.2.4分析小球质量对弹簧摆径向运动的振幅、周期的影响取0=1805，k=0.01，0l=1m，m=0.