计算方法复习题

软工13计算方法复习题第1页共5页1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。（1）)ln()1ln(xx，其中x较大（2）xx12，其中x较大（3）)(sin)(cos22xx，其中4/x（3）2cos1解：（1）)/)1ln((xx（2）)1/(12xx（3）)2cos(x（4）1sin222、已知函数方程0)ln(3)(xxxf有一正根，请完成以下几方面的工作：（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a0,b0]，以便于用二分法求解；（2）验证在[a0,b0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式)(1kkxx。解：（1）把方程的根看成y=3-x和y=ln(x)的交点，经分析可取含根区间[1.0,3.0]（2）经验算可得f(1.0)*f(3.0)0，另f’(x)在[1.0,3.0]上不变号，f(x)单调，二分法可行（3）迭代式)ln(31kkxx从迭代收敛定理两方面作完整讨论，知迭代式能保证收敛3、用Doolittle分解法求解线性方程组564221231112321xxx（要求写明求解过程）。解：（1）先对系数矩阵A作LU分解得A=LU=5/32/32/511215/32/112/11（2）由LY=B解出Y=(4,4,3/5)T，由UX=Y解出X=(1,1,1)T4、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据x0.00.51.01.52.0y1.001.652.724.4812.18（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(0.75)的近似值；（3）若用bxaey来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：两边取自然对数得lny=lna+bx，令u=lny，问题转化为求拟合直线u=lna+bx）；（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20)(dxxf的近似值。解：（1）构造差商表如下x0.00.51.01.52.0f(x)1.001.652.724.4812.18一阶差商1.302.143.5215.40二阶差商0.841.3811.88三阶差商0.367.00四阶差商3.32（2）二点牛顿插值计算N1(0.75)=1.65+2.14(0.75-0.5)=2.185三点牛顿插值计算N2(0.75)=N1(0.75)+(1.38)(0.75-0.5)(0.75-1.0)=2.09875（3）令iiyuln，计算iu=5，iiux=7.5，ix=5，2ix=7.5，解下面方程组：第页共页5.75ln5.7555ba得a=1，b=1，故有xexf)(（4）分别用复化梯形积分公式和复化辛普森积分公式计算5、若用Jacobi迭代法求解线性方程组341182105zyxzyxzyx：（1）能否从系数矩阵判定Jacobi迭代求解是收敛的？请说明原因；（2）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式fBXXkk1；（3）求出迭代矩阵B的行范数B和列范数1B，并说明B能否保证收敛。6、用规范化幂法求矩阵1403A的按模最大特征值，使误差不超过1105.0。初始向量取为V(0)=(1,1)T。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）7、用改进欧拉法求初值问题0.1)0.0(/yxydxdy在区间[0.0,1.0]上的解，取步长h=0.2。计算结果保留到小数点后面3位。8、）对于函数)1()(xxxxf，按下面两种方法计算)1000(f的近似值，分别讨论两个结果的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。例如2103162.01000，2103164.01001）（1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式)1/()(xxxxf计算。8、答题要点精确值f(1000)=0.1580743…*102。（1）f1(1000)1000*(0.3164-0.3162)*102=0.2*102，与精确值比较得绝对误差限1=0.5*101，得有效数字位数为1位；（2）f2(1000)1000/(0.3164*102+0.3162*102)0.1581*102，与精确值比较得绝对误差限为2=0.5*10*10-2,得有效数字的位数为4位。原因在于直接按表达式计算时两个相近的数相减导致有效数字位数减少而误差增大9、已知函数方程052)(3xxxf在区间[2，3]上有根（令a0=2，b0=3）：（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式)(1kkxx。（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并自己取初值x0，完成第1次迭代计算。10、分别用Gauss消元法和Doolittle分解法求解线性方程组274613312111321xxx。11、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据第页共页x0.00.51.01.52.0y1.001.493.015.488.99（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(1.25)的近似值；（3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算20)(dxxf的近似值。（4）若用y=a+bx2来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：令v=x2，问题转化为求拟合直线y=a+bv）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题）12、验算用辛普森积分公式)]()2(4)([6)(bfbafafabfS计算badxxffI)()(时所能达到的代数精度是几阶。13、若用Jacobi迭代法求解线性方程组1052151023210zyxzyxzyx：（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式fBXXkk1；（2）求出迭代矩阵B的行范数B和列范数1B，并说明B能否保证迭代收敛。（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi迭代法收敛？请说明理由。14、写出用反幂法),2,1,0(,/)()1()()()(kUAVVVUkkkkk求矩阵0235A的按模最小特征值的前两步迭代计算过程与结果。初始向量取V(0)=U(0)=(1,1)T。（提示：先对A作LU分解）15、用改进欧拉法求初值问题0.1)0.0(/2yydxdy在区间[0.0,0.4]上的解，取步长h=0.1。计算结果保留到小数点后面3位。16、设133)(23xxxxP，用下面两种不同的方法计算)19.2(P的值，并与真值685159.1)19.2(*P进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因：（1）直接按表达式计算；（2）按1)3)3(()(xxxxP计算。注意：中间数据和最后结果均按3位舍入法取值，如80.419.22，77.119.2)319.2(。17、用Jacobi法求实对称矩阵4334的全部特征值和特征向量。（另：任给一个实对称矩阵，你是否会构造Jacobi法的第一个正交矩阵并完成第一次正交变换？）18、若取初值I0=ln6-ln5，按式In=(1/n)-5In-1(n=1,2,3，…)递推计算，试估算I1和I2的误差（取ln61.79，ln51.61），并说明此递推式的数值稳定性。19、已知05.00.2,05.00.10,05.00.5zyx，若计算zyxv2，求v的绝对误差限和相对误差限。19、参考答案：|dv|=|2xdx-d(y/z)|=|2xdx|+(|ydz|+|zdy|)/z2=2*5*0.05+(10*0.05+2*0.05)/4=0.65=εεr=ε/(x*x-y/z)=0.65/(5*5-10/2)=3.25%第页共页20、对于矩阵312143237A，请完成规范化幂法的前两步迭代计算，即取初始向量为V(0)=U(0)=(1,1,1)T，求出V(1)、U(1)和V(2)。21、若用Jacobi法求实对称矩阵893982321的特征值及对应特征向量，试确定第一个正交矩阵，并完成第一次正交变换。旋转角按02sin2)(2cosppqqpqaaa确定。22、关于函数)(xfy已知如下数据表：xi0.000.250.500.751.00yi1.00000.98960.95880.90880.8415用柯特斯积分C(f)计算0.10.0)(dxxf的近似值，要求从复化梯形积分外推到复化辛普森积分，再由复化辛普森积分外推计算C(f)。（如果给定8个等距点及函数值，龙贝格积分如何计算呢？）23、现有一批实验数据如下表：xi0.000.200.400.600.801.00yi0.4990.5550.6250.7140.8341.001请用函数曲线bxay1拟合这一批节点（提示：先对拟合曲线做线性化处理）。24、取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，用反审法求矩阵错误!未找到引用源。的按模最小特征值。（只要求：完成LU分解、求解V(1)、U(1)、V(2)。）25、用规范化幂法求解矩阵错误!未找到引用源。的按模最大特征值时按指定精度要求迭代到第k=15次停止，得到的向量序列如下：（其中U为规范化向量，V为迭代向量）………………………………k=12:v[0]=1.860465v[1]=3.441860v[2]=3.441861u[0]=0.540541u[1]=1.000000u[2]=1.000000k=13:v[0]=2.162162v[1]=4.648649v[2]=4.648649u[0]=0.465116u[1]=1.000000u[2]=1.000000k=14:v[0]=1.860465v[1]=3.441860v[2]=3.441860u[0]=0.540541u[1]=1.000000u[2]=1.000000k=15:v[0]=2.162162v[1]=4.648649v[2]=4.648649观察以上向量序列的变化规律并求解上述按模最大特征值及特征向量。26、写出用Jacobi法求实对称矩阵错误!未找到引用源。特征值的第1个正交矩阵和第1次正交变换的计算式（不做详细计算）。27、写出用Jacobi迭代法求解线性方程组错误!未找到引用源。的迭代计算式、计算Jacobi迭代矩阵的行范数和列范数并判断收敛性。另：从原方程系数矩阵能否判断Jacobi迭代法收敛，说明判断理由。