综合评价方法及其应用(韩中庚)

信息工程大学---信息工程学院综合评价方法及其应用数学建模培训讲座之一---韩中庚InstituteofInformationEngineering,InformationEngineeringUniversity综合评价方法及其应用基本内容：1、综合评价方法的基本概念；2、评价指标的规范化处理;3、综合评价的数学模型构建;4、动态加权综合评价方法;5、长江水质的综合评价模型.数学建模培训讲座之一_____2020/6/24信息工程大学信息工程学院3一、综合评价方法的基本概念综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题。综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。2020/6/24信息工程大学信息工程学院4构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。一、综合评价方法的基本概念1构成综合评价问题的五个要素（1）被评价对象被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象（或系统），分别记为12,,,(1)nSSSn。2020/6/24信息工程大学信息工程学院5评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有m个评价指标（或属性），分别记为12,,,(1)mxxxm，即评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx。1构成综合评价问题的五个要素（2）评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。2020/6/24信息工程大学信息工程学院6注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。1构成综合评价问题的五个要素（3）权重系数每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用jw来表示评价指标(1,2,,)jxjm的权重系数，则应有0(1,2,,)jwjm，且11mjjw。2020/6/24信息工程大学信息工程学院7（4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为12(,,,)Tmxxxx，指标权重向量为12(,,,)Tmw，由此构造综合评价函数为(,)yfwx。如果已知各评价指标的n个观测值为{}(1,2,,;ijxin1,2,,)jm，则可以计算出各系统的综合评价值()(,)iiyfwx，()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in。根据(1,2,,)iyin值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。2020/6/24信息工程大学信息工程学院8（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。综合评价的一般步骤：明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。1构成综合评价问题的五个要素返回2020/6/24信息工程大学信息工程学院91.评价指标类型的一致化极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。二、评价指标的规范化处理一般说来，在评价指标12,,,(1)mxxxm中可能包含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。2020/6/24信息工程大学信息工程学院10（1）极小型指标:对于某个极小型指标x，则通过变换1(0)xxx,或变换xMx,其中M为指标x的可能取值的最大值，即可将指标x极大化。1.评价指标类型的一致化（2）中间型指标:对于某个中间型指标x，则通过变换2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm其中M和m分别为指标x的可能取值的最大值和最小值，即可将中间型指标x极大化。2020/6/24信息工程大学信息工程学院111.评价指标类型的一致化（3）区间型指标对于某个区间型指标x，则通过变换1,1,1,axxacxaxbxbxbc其中[,]ab为指标x的最佳稳定的区间，max{,}camMb，M和m分别为指标x的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型指标x极大化。2020/6/24信息工程大学信息工程学院122.评价指标的无量纲化二、评价指标的规范化处理在实际中的评价指标12,,,(1)mxxxm之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。2020/6/24信息工程大学信息工程学院132.评价指标的无量纲化假设m个评价指标12,,,mxxx，在此不妨假设已进行了类型的一致化处理，并都有n组样本观测值(1,2,,;1,2,,)ijxinjm，则将其作无量纲化处理。（1）标准差方法:令ijjijjxxxs(1,2,,;1,2,,)injm，其中1221111,[()](1,2,,)nnjijjijjiixxsxxjmnn。显然指标(1,2,,;1,2,,)ijxinjm的均值和均方差分别为0和1，即[0,1]ijx是无量纲的指标，称之为ijx的标准观测值。2020/6/24信息工程大学信息工程学院142.评价指标的无量纲化（2）极值差方法:令ijjijjjxmxMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中11max{},min{}(1,2,,)jijjijininMxmxjm。则[0,1]ijx是无量纲的指标观测值。（3）功效系数法:令ijjijjjxmxcdMm(1,2,,;1,2,,)injm，其中,cd均为确定的常数。c表示“平移量”，d表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则[,]ijxccd。譬如若取60,40cd，则[60,100]ijx。返回2020/6/24信息工程大学信息工程学院15三、综合评价的数学模型为了全面地综合分析评价n个系统（被评价对象）的运行（或发展）状况，如果已知n个状态向量（即n组观测值）()12(,,,)iTiiimxxxx(1,2,,)in，则根据m个评价指标的实际影响作用，确定相应的权重向量12(,,,)Tmw，且选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）(,)yfwx，由此计算综合评价指标函数值()(,)(1,2,,)iiyfinwx，并按(1,2,,)iyin取值的大小对n个系统进行排序或分类。问题:如何来构造合适的综合评价模型？2020/6/24信息工程大学信息工程学院16线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。三、综合评价的数学模型1.线性加权综合法线性加权综合法:用线性加权函数1mjjjywx作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。2020/6/24信息工程大学信息工程学院17线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。1.线性加权综合法2020/6/24信息工程大学信息工程学院182.非线性加权综合法非线性加权综合法:用非线性函数mjwjjxy1作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。其中jw为权系数，且要求1jx。非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。非线性加权综合法的特点：（1）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平衡评价指标值较小的指标影响的作用；（2）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感；（3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1；（4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。2020/6/24信息工程大学信息工程学院19三、综合评价的数学模型3.逼近理想点（TOPSIS）方法实际中，经常会遇到这样的一类综合评价问题，即首先设定系统的一个理想（样本）点),,,(**2*1mxxx，然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。如果某一个被评价对象),,,(21imiixxx在某种意义下与理想点),,,(**2*1mxxx最接近，则可以认为被评价对象),,,(21imiixxx就是最好的。基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法（Thetechniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution，简称为TOPSIS）。2020/6/24信息工程大学信息工程学院203.逼近理想点（TOPSIS）方法假设理想点（系统）为),,,(**2*1mxxx，对于一个被评价对象),,,(21imiixxx，定义二者之间的加权距离为nixxfwymjjijji,,2,1,)(1*，其中jw为权系数，),(*jijxxf为ijx与*jx之间的某种意义下距离。通常情况下可取简单的欧氏距离，即取2**)(),(jijjijxxxxf，则综合评价函数为nixxwymjjijji,,2,1,)(12*。经过计算，按照),,2,1(niyi值的大小对各被评价方案进行排序选优，显然是其值越小方案就越好。特别地，当某个0iy时，即达到了理想点，则对应的方案就是最优的。返回2020/6/24信息工程大学信息工程学院21四、动态加权综合评价方法2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮(NH3-N)和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。1.动态加权综合评价问题的提