23第04讲 平面轴对称空间问题-10_434705882

有限元法与应用有限元法与应用(第五讲)清华大学汽车工程系清华大学汽车工程系结构分析与结构分析与CAECAE研究室研究室第第33章章平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析3.13.1有限元模型有限元模型3.23.2单元分析单元分析3.33.3整体分析整体分析3.43.4边界约束条件的处理边界约束条件的处理3.53.5非结点载荷的移置非结点载荷的移置3.63.6刚度方程的求解刚度方程的求解3.73.7计算结果的整理计算结果的整理3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元3.93.9六结点三角形单元六结点三角形单元3.103.10八结点矩形单元八结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室yxabijpmabifiδ结点及其坐标:(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)iijjmmppijmpxyxyxyxyabababab−−−−单元节点位移向量与结点力向量:{}{}Teijmpδδδδδ=(,,,)iiiuijmpvδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭{}{}Teijmpfffff=(,,,)ixiiyffijmpf⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室12345678(317)uxyxyvxyxyαααααααα=+++⎧−⎨=+++⎩由位移模式满足结点条件：,)(,,,)(,)iiiiixyijmpuvδ⎧⎨=⎩（代回（3－17），得位移模式：18αα～可得[]{}(,)(3-18)euNxyvδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 形函数矩阵3.8.13.8.1单元位移模式单元位移模式3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室1(1)(1)4pxyNab=−+[]0000(,)0000ijmpijmpNNNNNxyNNNN⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，1(1)(1)4ixyNab=−−1(1)(1)4jxyNab=+−1(1)(1)4mxyNab=++式中,3.8.13.8.1单元位移模式单元位移模式3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室1()(,)0()(,,,)1ijjijmpijNxyijijmpNNNN⎧=⎧=⎨⎪≠⎨⎩⎪+++=⎩*四结点矩形单元是完备和协调单元(??)-----------收敛于正确解形函数具有以下特性:3.8.13.8.1单元位移模式单元位移模式3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室{}[][]{}00(3-19)exuNvyyxεδ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎧⎫∂==∂⎨⎬⎢⎥∂⎩⎭⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦由几何方程，{}[]N{}{},,,eeijmpBBBBBεδδ⎡⎤==⎣⎦应变矩阵或：3.8.23.8.2单元应变和应力单元应变和应力3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室1(1)001100(1)411(1)(1),,,)iiiiiiiiiiiiiyNyxxNxByxyNNxyyxxyyxijmp⎡⎤⎡⎤∂+⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂==+⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂++⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦({}[]{}[][]{}eDDBσεδ==（3-20）*四结点矩形单元中的应变、应力为线性分布其中，由物理方程,3.8.23.8.2单元应变和应力单元应变和应力3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室[][][][]eTVKBDBdxdydz=∫∫∫由虚位移原理得单元刚度方程：[]{}{}818188(321)eeeKfδ×××=−单元刚度矩阵：[][][](322)TABDBtdxdy⎯⎯⎯⎯→=−∫∫平面问题3.8.33.8.3单元刚度方程单元刚度方程3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元第第33章章平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析3.13.1有限元模型有限元模型3.23.2单元分析单元分析3.33.3整体分析整体分析3.43.4边界约束条件的处理边界约束条件的处理3.53.5非结点载荷的移置非结点载荷的移置3.63.6刚度方程的求解刚度方程的求解3.73.7计算结果的整理计算结果的整理3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元3.93.9六结点三角形单元六结点三角形单元3.103.10八结点矩形单元八结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室111(1,2,3)uvδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭yxijm123结点i，j，m（顶点），结点1，2，3（对边中点）。结点位移：(,,)iiiuijmvδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭3.93.9六结点三角形单元六结点三角形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室单元位移模式：2212345622789101112(323)uxyxxyyvxyxxyyαααααααααααα⎧=+++++⎪−⎨=+++++⎪⎩1379,αααα～，～单元边界上位移抛物线变化，每个公共边三个公共结点可唯一确定边界位移分布，所以公共边界位移协调。六结点三角形单元是完备和协调单元收敛充分条件单元内应变、应力是（x,y）的线性函数（较少单元达到较高精度）。反映单元刚体位移和常应变。3.93.9六结点三角形单元六结点三角形单元第第33章章平面问题的有限元分析平面问题的有限元分析3.13.1有限元模型有限元模型3.23.2单元分析单元分析3.33.3整体分析整体分析3.43.4边界约束条件的处理边界约束条件的处理3.53.5非结点载荷的移置非结点载荷的移置3.63.6刚度方程的求解刚度方程的求解3.73.7计算结果的整理计算结果的整理3.83.8四结点矩形单元四结点矩形单元3.93.9六结点三角形单元六结点三角形单元3.103.10八结点矩形单元八结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室ijmp12342222123456782222910111213141516uxyxxyyxyxyvxyxxyyxyxyαααααααααααααααα⎧=+++++++⎪⎨=+++++++⎪⎩13911~,~αααα（协调单元）（完备单元）单元边界，位移抛物线变化，每边三个结点，（唯一确定抛物线）边界位移连续。反映常应变和刚体位移。3.103.10八结点矩形单元八结点矩形单元汽车工程系结构分析与CAE研究室线性单元⎯⎯⎯⎯→增加单元数h⎡⎤⎣⎦提高精度单元⎡⎤⎣⎦计算量大高次单元⎯⎯⎯⎯⎯⎯→增加位移模式阶次p⎡⎤⎣⎦提高精度单元⎡⎤⎣⎦计算量大汽车工程系结构分析与CAE研究室第第44章章空间问题的有限元法空间问题的有限元法((三维固体有限元分析三维固体有限元分析))三维固体的有限元方法与二维固体的过程基本相同，只是单元类型不同而已。以下介绍几种常用的3DSolid单元。第第44章章空间问题的有限元法空间问题的有限元法((三维固体有限元分析三维固体有限元分析))4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元xyzoijmpiδif结点ijmpijmp(,,)(,,,)iiixyzijmp结点位移和结点力：[](,,,)[]TiiiiTiixiyizuvwijmpffffδ⎧=⎪⎨=⎪⎩单元结点位移和结点力向量：{}{}[][]eTijmpeTijmpfffffδδδδδ==汽车工程系结构分析与CAE研究室4.1.14.1.1..单元位移模式单元位移模式再将123456789101112(4-1)uxyzvxyzwxyzαααααααααααα=+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩将结点坐标（xi，yi，zi）和结点位移,,,,,iiiuvwijmp(）()代入式(4-1)，可求得(1~12)iiα=单元内部位移的插值函数。112~αα[]{}(,,)euvNxyzwδ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭形函数矩阵（4-2) 代回式(4-1)得到结点位移表示的4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室形函数矩阵：[]00000000(,,)0000000000000000ijmpijmpijmpNNNNNxyzNNNNNNNN⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦易证：位移模式满足收敛性条件（完备性和协调单元）。4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室4.2.24.2.2..单元应变与应力单元应变与应力{}[][][]{}[]{}(,,)eeuvNxyzBwεδδ⎧⎫⎪⎪=∂=∂=⎨⎬⎪⎪⎩⎭（4－3）{}[]{}[][]{}eDDBσεδ==(4-4)四结点四面体单元是常应力单元。4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室[]{}{}121121121245eeeKfδ×××=（－）[][][][][][][]=46TeTVKBDBdxdydzBDBV=∫∫∫（－）4.3.34.3.3..单元刚度方程单元刚度方程单元刚度矩阵：4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元第第44章章空间问题的有限元法空间问题的有限元法((三维固体有限元分析三维固体有限元分析))4.14.1四结点四面体单元四结点四面体单元4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元xyo12345678结点位移和结点力：[](1,2,...,8)[]TiixiyizTiixiyiziffffδδδδ⎧=⎪=⎨=⎪⎩单元结点位移和结点力向量：{}{}128128[...][...]eTeTffffδδδδ==汽车工程系结构分析与CAE研究室4.2.14.2.1..单元位移模式单元位移模式123456789101112131415161718192021222324(4-7)uxyzxyxzyzxyzvxyzxyxzyzxyzwxyzxyxzyzxyzαααααααααααααααααααααααα=+++++++⎧⎪=+++++++⎨⎪=+++++++⎩将结点坐标（xi，yi，zi）和结点位移[]{}(,,)euvNxyzwδ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭形函数矩阵（4-8) ,,1,2,...8iiiuvwi=(）()代入式(4-7)，可求得(1~24)iiα=代回式得到结点位移表示单元内部位移的124~αα再将插值函数。4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室4.2.24.2.2..单元应变与应力单元应变与应力{}[][][]{}[]{}{}[]{}[][]{}(,,)49eeeuvNxyzBwDDBεδδσεδ⎧⎧⎫⎪⎪⎪=∂=∂=⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎪⎪==⎩（－）[]{}{}24124124244eeeKfδ×××=（－10）[][][][]4TeVKBDBdxdydz=∫∫∫（－11）4.2.34.2.3..单元刚度方程单元刚度方程单元刚度矩阵：4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元汽车工程系结构分析与CAE研究室*3D－10结点实体单元*3D－20结点实体单元2221234567891022256781112131415162229101112171819202122uxyzxyzxyyzzxvxyzxyzxyyzzxwxyzxyzxyyzzxααααββββββααααββββββααααββββββ⎧=+++++++++⎪=+++++++++⎨⎪=+++++++++⎩十结点四面体单元内任一点位移：4.24.2八结点六面体单元八结点六面体单元第第55章章轴对称问题的有限元分析轴对称问题的有限元分析5.15.1基本概念基本概念5.25.2三结点三角形轴对称单元三结点三角形轴对称单元汽车工程系结构分析与CAE研究室5.15.1基本概念基本概念5.1.15.1.1轴对称问题轴对称问题在实际工程问题中，若结构的几何形状、约束条件以及所受载荷都对称于某一固定轴（称为对称轴），则结构在载荷作用下产生的位移、应变和应力必然也