弹塑性力学

弹塑性力学课程安排•授课方式：讲座,讨论,练习•考试方式：闭卷或开卷参考书目•≤应用弹塑性力学≥，徐秉业、刘信声、著，北京：清华大学出版社，1995•≤岩土塑性力学原理≥，郑颖人、沈珠江、龚晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002•≤弹塑性力学引论≥，杨桂通编著，北京：清华大学出版社，2004•≤弹性与塑性力学≥，陈惠发、A.F.萨里普著，北京：建筑工业出版社，2004目录•一、绪论•二、矢量张量•三、应力分析•四、应变分析•五、本构方程•六、弹塑性力学问题•七、能量原理及变分法•八、塑性极限分析一、绪论•1.1基本概念•1.2弹塑性力学的发展历史•1.3塑性力学的主要内容•1.4塑性力学的研究方法•1.5与初等力学理论的联系•1.6弹塑性力学的发展趋势1.1基本概念•弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。•目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理论基础。弹塑性力学的基本假设•（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用连续函数表示。•（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。•即连续介质和小变形假设。弹性和塑性变形的特点弹性变形的特点:•应力－应变之间具有一一对应的关系，•且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。塑性变形的特点：•应力－应变关系不再一一对应，•且一般是非线性的单轴应力应变曲线•弹性、塑性•线性、非线性典型的塑性本构模型•理想弹塑性模型•强化弹塑性模型•软化弹塑性模型1）理想弹塑性模型2）强化弹塑性模型3）软化弹塑性模型弹塑性力学基本方程•弹塑性力学的基本方程是：•（1）平衡方程；•（2）几何方程。•（3）本构方程。•前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程1.2弹塑性力学发展历史•1678年胡克（R.Hooke）提出弹性体的变形和所受外力成正比的定律。•19世纪20年代，法国的纳维（C.I.M.H.Navier）、柯西（A.I.Cauchy）和圣维南（A.J.C.B.deSaintVenant）等建立了弹性理论•1864年特雷斯卡（H.Tresca）提出最大剪应力屈服条件。•1871年列维（M.Levy）将塑性应力应变关系推广到三维情况。•米赛斯（R.vonMises）提出形变能屈服条件。普朗特（L.Prandtl）和罗伊斯（A.Reuss）提出塑性力学中的增量理论岩土塑性理论形成早期研究：•1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为Mohr-Coulomb准则；•1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念；•1903年Kötter建立滑移线方法；•1929年Fellenius提出极限平衡法；•1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法；•1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法；•1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。形成独立学科：•岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期；•1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以反映平均应力或体应变所导致的体积屈服；•1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念，于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了土体实用计算模型•从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃，建立的岩土本构模型也很多。•1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。1.3塑性力学的主要内容•（1）建立屈服条件。•对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服•（2）判断加载、卸载。•加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。•（3）描述加载（或变形）历史。•应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加载过程中必须对其历史进行记录。1.4塑性力学的研究方法•宏观塑性理论•以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特点是：•数学上力求简单，力学上能反映试验结果的主要特性。•实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变形过程的物理化学本质。•细微观塑性理论•从细微观的层次来看，具有内部细微结构，如位错、微裂纹和微孔洞等。•从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性质宏观塑性理论的求解方法•精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程的解；•近似解法。采用合理简化假设，获得近似结果。如差分法、有限元法、加权残值法等。•实验方法。采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力和应变的分布规律。•精确解法对形状简单的物体比较有效，但对复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值解法是近似方法，将列出方程的难度转移到复杂几何形状的模拟上。1.5与初等力学理论的联系•材料力学、结构力学•从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与它们都是相同的；•从处理问题的方法来看，都是从静力学、几何学、本构关系三个方面进行分析。区别•研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件，结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统，弹塑性力学涉及各种固体结构。•研究问题的深度：材料力学和结构力学主要局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。•研究问题的简化程度：材料力学和结构力学除了采用与弹塑性力学相同的一些基本假定外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则不作该假定。•总的来看，弹塑性力学的研究范围更加广泛、研究问题更加深入，得到的结果更加精确。1.6弹塑性力学的发展趋势•由早期的精确解法占主导地位到如今的数值近似解法占主导地位。•由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。•由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如ANSYS、ADINA等。•以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便，与其它软件进行集成。二、矢量和张量•2.1基本概念•2.2矢量•2.3张量2.1基本概念•讨论应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量符号。具有表达简洁的特点。•坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法为x1轴、x2轴、x3轴。2.2.1矢量代数•矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。•对空间任一点Ｐ，坐标是（v1，v２，v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。•由单位矢量叠加有：•或简洁写为：332211evevevV),,(321vvvV•若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：•可简洁表示为：•下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能下标中的任一个。iiuv3,2,1,iuvii•两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到，为分量之和：•或简洁表示为：333222111)()()(evuevuevuVUWiiivuw2.2.2标量积•矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。•矢量U和V的标量积定义为：•|U|表示矢量U的绝对长度，为矢量U和V的夹角。cos||||VUVU10cos||||090cos||||11112121eeeeeeee•标量积的计算式为：•两个垂直矢量的点积为零。•一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。•应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，功率由点积（）求出。31332211332211332211)()(iiivuvuvuvueveveveueueuVUVF2.2.3矢量积•两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于。标记为：•W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。sin||||VUVUW•矢量积的计算式为)()()(122133113223321321321321vuvuevuvuevuvuevvvuuueeeVUW•矢量叉积不满足交换律和结合律：•一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。•应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力F绕原点的力矩为：WVUWVUUVVU)()()(FrM2.2.4三重积•三重标量积：•称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面体的体积或体积的负值。可用[U，V，W]来表示。WVU)()(321321321•三重矢量积：WVUVWUWVU)()()(2.2.5标量场和矢量场•函数称为一个标量场，梯度•构成矢量场，垂直于=常数的表面。cxxx),,(321),,(321332211xxxxexexegrad•矢量的散度：•矢量的旋度：332211xvxvxvV321321321///vvvxxxeeecurlVV2.3张量•1.3.1指标记法和求和约定•1.3.2符号（Kronecker符号）•1.3.3符号（交错张量）•1.3.4坐标变换•1.3.5笛卡尔张量•1.3.6张量性质ijijk2.3.1指标记法和求和约定•矢量V用指标记法为，指标可以自由挑选。•规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。•规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。iv•规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。•在下标中，用一个逗号表示微分，如：Vxvxvxvvii332211,2.3.2符号（Kronecker符号）ij•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即•由求和约定可得到100010001ij3332211ii•由于•所以，将应用于只是将j用i置换，因此符号通常称为置换算子。ijijvvijjvij2.3.3符号（交错张量）•符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：ijkijk•叉积•证明：对分量1，对于表达式由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而•同理可对其它分量计算，合并得证。ikjijkevuVUkjjkvu1233223132321231vuvuvuvuvukjjk•三重标量积可写为•对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：kjiijkwvuWVU)(ksjtktjsistijk•可用指标方法证明：CBABCACBA)()()(CBACBA)()(为一标量其中,0)(2.3.4坐标变换•假设和是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为和，则有•称为方向余弦，即与轴夹角的余弦。ixixivivjijivlv),cos(iiijxxlixjx方向余弦表新坐标轴老坐标轴1x2x3x1x2x3x11l12l13l21l22l23l31l32l33l•注意的元素不对称。•由的定义有：•所以ijlijljiijeeljijielejrirrkjkirkjkririjjillllelelee•或•该式隐含6个等式：ijjrirll000111332332223121331332123111231322122111233232231223222221213212211llllllllllllllllllll