高等数学--高斯公式

目录上页下页返回结束第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件*三、通量与散度高斯公式*通量与散度第十一章目录上页下页返回结束一、高斯(Gauss)公式定理1上有连续的一阶偏导数,yxRxzQzyPddddddzyxzRdddyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面所围成,则有(Gauss公式)高斯的方向取外侧,设空间闭区域由分片光滑的闭曲目录上页下页返回结束231zyxyxDO),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd称为XY-型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz定理1设目录上页下页返回结束所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：定理1目录上页下页返回结束x3z1y例1其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解利用Gauss公式,得原式=,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考:若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意23,0zyO用Gauss公式计算这里若改为内侧,结果有何变化?目录上页下页返回结束hzyxO例2其中为锥面222zyx解,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,2π1上在介于z=0及z=h之间部分的下侧,,,为法向量的方向角.1,记所围区域为,则zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1利用Gauss公式计算积分作辅助面目录上页下页返回结束yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用质心公式,注意0yxzyxzddd24πhyxhyxDdd2421πhhz022πzzd4πh思考:提示:,dddd)(2yxzzyxz介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.,2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面目录上页下页返回结束Ozxy例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(π20d10drrπ202dcos4π用柱坐标用极坐标2111yxD目录上页下页返回结束coscoscoszvyvxv在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例4uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中是整个边界面的外侧.uPxvuQyvuRzv注意:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPddddddxv高斯公式222222zvyvxv设函数目录上页下页返回结束注意:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd高斯公式证uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.yvzvxv令目录上页下页返回结束*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,•若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;•若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但空间一维单连通域.目录上页下页返回结束2.闭曲面积分为零的充要条件定理2),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),,(,0①证根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM00MzRyQxP已知①成立,“充分性”.目录上页下页返回结束因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GMU,)(0上使在MU0zRyQxP的边界为设)(0MU则由yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMUddd)(00与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,高斯公式得目录上页下页返回结束*三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(理意义可知,设为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd目录上页下页返回结束若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当0时,说明流入的流体质量少于当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为nn目录上页下页返回结束方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.目录上页下页返回结束定义设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,SnAd为向量场A通过在场中点M(x,y,z)处记作AdivzRyQxPAdiv显然A有向曲面的通量(流量).称为向量场A在点M的散度.目录上页下页返回结束0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场A处处有例如,匀速场),,,(),,(为常数其中zyxzyxvvvvvvv0divv故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且散度意义,则称A为无源场.目录上页下页返回结束yxydd112例5解kzjy22zy)0(122zzyffnkzjzyA2穿过曲面流向上侧的通量,其中为柱面被平面10xx及截下的有限部分.x122zy1)0,1,1(O)0,1,1(zyn,),(22zyyxf则上侧的法向量为kzjy在上32zzyzzyz)(22nA故所求通量为SnAdSzdxyDy212求向量场记目录上页下页返回结束内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP目录上页下页返回结束2.*通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为),,,(RQPASnAdzRyQxPAAdiv(n为的单位法向量）目录上页下页返回结束思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd32π4R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222为2R目录上页下页返回结束rncosrn补充题所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证则coscoscosrzryrxSrdcos31vd331V的夹角,积为V,设是一光滑闭曲面,设的单位外法向量为