94数学建模

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J20**所属学校（请填写完整的全名）：****参赛队员(打印并签名)：1.***2.***3.***指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1摘要论文中就题中三个问题建立了三个数据模型，分别是顾客流量与商业利润的关系，商家的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。不同的促销手段对于商家和顾客有不同的影响。对于问题1，通过分析在买卖过程中的各因素之间的联系，在无促销行为的前提下，推导公式，建立模型，明确顾客流量和商业利润关系。从模型中可以看出顾客流量和商业利润总体呈正相关。对于问题2，通过收集整理现有的主要商业促销手段。如商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等，建立客流量与随机客流量以及促销效果因数的模型，使得在商业利益最大化的前提下，礼品促销是最佳促销手段。问题3是通过打折促销、礼品促销、代金券促销三者比较而言，打折促销对于消费者最有利。关键词：促销手段商业利润顾客流量2一、问题重述中国市场经济的建立，一方面推动了我国经济的飞速发展，同时也加大了市场竞争，巨大的市场竞争带给了经营者极大的压力，为了在现有的市场得到更多的份额，商家纷纷采取各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高商业利益。每逢“黄金周”，商家都会抛出促销方案，以吸引更多的顾客光临，从而达到增加销售额，提高经济效益的目的；如果促销策略不当，可能会适得其反。但由于顾客选择商场具有一定的随机性，因而商家很难估计到这些促销策略带给企业的效益。1、建立数学模型，分析顾客流量与商业利润的关系；2、收集整理现有的主要商业促销手段。由于促销手段与商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等因素有着直接或间接的关系。请建立模型，在商业利益最大化的前提下，给出最佳促销手段；3、消费者面对众多的促销手段，眼花缭乱。请建立模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择；4、写出一个不超过800字的报告，阐明经营者的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。二、问题分析2.1问题一的分析顾客流量与商业利润关系可表示为：商业利润=销售额—成本销售额=顾客流量×平均销售额在一个时间段内，某一地方的顾客的消费能力会相对保持在一个相对稳定的状态，即平均销售额一定；成本也相对稳定。商业利润会随着顾客流量的增加在一定范围内会保持增长趋势。增加顾客数量，表面来讲无非就是增加商场来的顾客。一些商场管理者认为增加顾客数量的方法就是拼价格，虽然这种方法在短时间内会使来客数剧增，但是很多商场的销售曲线证明，促销单从单品价格上的吸引力来说是极其有限的。所以，要想增加商场的顾客数量，就得对我们的商场顾客加以研究，只有在了解顾客的基础上才能提高商业利润。2.2问题二的分析市场上的商业促销方式种类很多，其目的无非是提高消费者对产品的关注率和购买率，使得销售额上升，最终使其商业利润最大化。商业促销方式主要有以下几种：广告宣传，商品打折，赠送礼品等。促销手段与商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等因素有着直接或间接的关系。对于商业促销来说，各类促销手段都需要特定的投入，称其为促销成本。由于在各种影响因素下，随着促销投入的增加，销售额会达到一个临界值，再增加促销投入时，不但不会达到理想的效果，反而会适得其反。据此，我们可以建立以上三种促销方式与商业利润之间关系模型，求解对于商家来说在商业利润最大化的前提下应该选择何种促销手段。32.3问题三的分析顾客在商场消费时，用较少的钱买下同一件商品就是对于顾客本身更加有利。而不同的促销手段则会影响物品的价格，也会刺激顾客的购买欲，这也造成最终顾客的选择。因此，在相同的消费额度的情况下，由于促销手段的不同，优惠的额度不同，顾客花费也将不同，但毫无疑问的是，就赶顾客本身而言，哪种促销手段下花费的钱少，就是自己的最佳选择。在此还要说明两个概念：优惠金额：商品标价－顾客最终购买价；优惠率：优惠额在商品标价的所占百分比。三、模型一建立3.1模型假设1、在一段时间内，某一商场顾客的消费能力相对稳定，用平均销售额表示2、成本也相对稳定，保持不变3、商场的人流量稳定，无太大波动4、不考虑因特殊情况出现的赔偿等亏损行为5、此时无促销行为6、顾客人群的总体行为符合概率模型3.2符号说明符号符号说明A商业利润B顾客流量C平均销售额D固定成本E促销成本F商品成本G销售额H成本3.3模型建立简单的商业利润关系可用如下公式表示：商业利润=销售额—成本其中，销售额=顾客流量×平均销售额4顾客流量=人流量×入门率成本=固定成本+促销成本+商品成本固定成本=店面租金+水电费+员工工资+L由此可得：商业利润=顾客流量×平均销售额-固定成本-促销成本-商品成本即A=B×C-D-E-F促销可使顾客对商品的关注度提升，从而提高顾客流量，因此两者的关系可用函数表示：E与B的关系——B=f（E）f（E）为单调递增的函数，其图像趋势大致为：（图1）显然，反函数E=g（B）也是为单调递增的函数由此可得ABCDEFBCDgBF（）（（））由公式可得，在商家不进行任何促销手段，只根据平时的营业情况考虑，即不考虑促销成本的情况下:gB0（）则ABCDF由公式可知，在固有成本和商品成本不变的情况下，显然顾客流量越多，商业利润越高，两者呈正相关。要注意的是,顾客流量不可能无限增加，当顾客超过饱和限度时，会对商场硬件（环境，规模，安全等）造成压力，因此，顾客流量还受到了商场硬件和规模等制约因素的限制，不会无限上升，导致的结果是商家的商业利润也不会无限上升。5四、模型二建立4.1模型假设1、顾客人群的总体行为符合概率模型；2、商业基本成本（管理、员工工资、环境投资等）在促销行为期间固定不变；3、将商家销售的所有商品视为一种理想化的标准商品，其原始价格等于市场平均价格，且没有质量和品牌的差异；4、商家在促销前准备充足，有足够的流动资金，促销商品不会断货、缺货；5、商家严格按照理想化的促销手段实施促销行为。4.2符号说明1B随机客流量2G降价成本2B固定客流量3G礼品成本促销效果系数H降价额商业规模系数I礼品价格消费水平系数K标准价格经济发展系数L关注率1G宣传成本P购买率4.3模型建立我们在分析了实际生活中各类促销手段的作用机理、效果、影响因素及消费者心理之后，将各种促销手段分类归纳，总结出以下几种模型：4.3.1广告宣传商家通过广告促销手段获取更多的顾客资源，其效果取决于宣传成本和顾客流量。宣传成本广告投入1+e1=e1GB商业规模系数消费水平系数经济发展系数促销投入随机客流量促销效果64.3.2商品降价商品降价促销是通过降低商品的价格来激起消费者购买的欲望的方式。其效果取决于降价额和标准价格。1降价成本顾客流量商品原价（折扣率）2+e1=e1GK商业规模系数消费水平系数经济发展系数降价额标准价格促销效果4.3.3赠送礼品赠送礼品是通过附加价值来吸引消费者的购买欲望。其效果取决于礼品价格和标准价格。礼品成本礼品单价顾客流量礼品赠送率3+e1=e1GK商业规模系数消费水平系数经济发展系数礼品价格标准价格促销效果4.4模型求解4.4.1广告宣传12+231212221(BeB)()KGDFGBGG广告宣传的商业利润在matlab下作图：7（图2）广告投入直接导致客流量的增长，在关注率和购买率不变的前提下，利润相应上涨。当客流量增长过饱和后，顾客对商品的关注率开始下滑，导致利润下降。4.4.2商品降价22+23122222(eB2)()KGDFGBBGG商品降价的商业利润（图3）8（图4）降价促销直接提升成交量，但是会降低客单价，可以发现，只有在商品具有足够的利润空间时，降价销售才会使利润得到增长。此外模型还可以证明：当商家有意抬高价格再降价销售时，可以获得更好的利润。4.4.3礼品赠送32+231232223(BeB)()KGDFGBGG礼品赠送的商业利润（图5）9（图6）赠送礼品对提升客流量和购买率都有贡献，但是随着礼品价格的增加成本也相应增长，再加上市场的僵化效应，商业利润不会无限上升。寻找合适的价格平衡点可以帮助商家实现最大利润。通过上述模型，我们在特定环境中选取最优促销策略：假设某地区的某商家，经济人口=3万，预期客流量=0.3万，成本=100元，固有成本=1万元经济0.50.50.60.5地段0.50.50.50.8标准价格140126.7120120自身规模0.20.80.50.5客流量50007500800012000利润（元）002048854130经济水平和商业地段的提升都将带来客单价和客流量的增长，在等同的商品价格条件下产生更多的利润。自身规模使商家在等同的环境中争取到更多的客流，从而增加收益。通过matlab软件，使用优化法计算在固定环境下模型的最优解：广告促销：商品售价（元）广告（万元）商品展示（万元）最大利润（万元）12500．3－1.471401．30．82.741502．515.371603．51．28.21704．41．411.351805．21．514.510降价促销：商品售价（元）商品降价（元）最大利润（万元）180910．81601．66．7215004．76礼品促销：商品售价（元）礼品价格（元）最大利润（万元）180451417030．213．316019．89．915010．46．951401．94．37根据上述的结果，我们可以看出：在给定的特定的环境下，三种促销策略中，礼品促销是最能实现商业利益最大化的促销手段。4.5结果分析本模型针对三种不同的促销手段所导致的商业利润不同进行求解，在商业利润最大化的情况下从中选取最优的促销手段。可以看出，模型的假设比较合理，结合实际，从促销手段与商业规模、消费水平、当地经济发展水平等因素之间的关系出发，从而建立模型。模型的不足之处在于没有和时间效果建立联系，无法研究在促销期内采取不同的时间分配手段对最终利润的影响。五、模型三建立5.1模型假设1.假设在消费水平相同的情况下，顾客的消费额度一定。2.假设顾客在消费时，是从花钱最少的角度出发的。3.假设顾客购买的商品的标价相同。5.2符号说明符号符号说明P商品价格R打折率T商品需求量Q最终出售价格W赠送礼品价格11X优惠额Y优惠率C代金券金额5.3模型建立因为顾客的消费额度是相同的，那么，促销手段的影响是巨大的。不同的促销手段优惠的金额也是不同的。在下文中，将会展示不同的促销手段对顾客花费的影响，