初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第11章-相似形与面积问题

154第十一章相似形与面积问题第一节相似三角形【知识点拨】1、相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（3）三边对应成比例，两个三角形相似；（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。【赛题精选】例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。求△ECG的面积。（2003年河北省竞赛题）【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。155例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题）例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l∥BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题）【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。156例5、正方形ABCD中，M、N分别在AB、BC边上，且BM＝BN，又BP⊥MC于P。求证：PD⊥PN。（1990年四川省竞赛题）【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方法。例6、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4。求证：BCACAB111。【说明】要证明形如cba111几何题的常用方法有：（1）比例法：将原等式变形为cabba1、cbaba，故构造以a＋b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；（2）通分法：先将原等式变形为1bcac。利用相关定理将两个比通分，即证出dmac1、dmbc2，且dmm21，则原式成立。157例7、在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC。求证：BCACACAB22。（按图示辅助线以两种方法证明）【说明】证明efcdab型命题常用以下方法：（1）利用提公因式或平方差公式，将原式转化为等积式，再利用三角形相似加以证明；（2）要证efcdab，可在线段b所在的直线上取一点，则21bbb，则efcdbba)(21，再证cdab1、efab2即可。例8、在△ABC中，D、E分别是BC、AB上一点，且∠1＝∠2＝∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m、1m、2m。求证：4521mmm（1989年全国联赛题）158例9、在△ABC中，BC＞AC，CH是AB上的高，且BHAHBCAC22。试证明∠A＋∠B＝900或∠A－∠B＝900。（2001年全国初中数学联赛武汉选拨赛题）159【针对训练】1、在△ABC中，已知AB＝3、AC＝4、BC＝5，现将它折叠，使B、C两点重合，则折痕长是__________.（2003年全国初中联合竞赛题）160161第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。求CD的长。例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。求AD·DC的值。（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。对于求线段ab的值的题目，常由相关定理证出等积式ab＝cd，求出cd的值即可。162例3、I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证：BCACABIDAI。例4、Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a＝b，由线段成比例定理得出含a、b的比例式，111nmxa、222nmxb，然后证2211nmnm，从而得到21xbxa，再证21xx，从而得到a＝b。本题证法较多，如过点E作EH∥BC交AB于H，则EH＝GB，再证EH＝EC、EC＝CF；或过F作FM⊥AB于M，证Rt△CEG≌Rt△FMB。163例5、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于G，AM是BC边的中线，交CG于F。求证：AC∥DF。【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。例6、在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＞b＞c，AS、AS’为∠A的平分线与外角的平分线，BT、BT’为∠B的平分线与外角平分线，CU、CU’为∠C的平分线及外角平分线。求证：TTUUSS111。（1990年上海市竞赛题）【说明】通过本题的求解，我们得到cba111型几何题的又一种解法，即分别计算出a、b、c的值，再验证等式两边相等。164【针对训练】165第三节面积证题初步【知识点拨】1、用面积证题就是利用面积关系建立线段之间的关系，或根据面积有关性质将线段关系转化为面积关系，通过解方程或适当变形，从而解决线段有关问题。2、对于由面积关系建立线段关系常用几种方法：（1）利用一个图形的面积的几种不同的等积表示；（2）利用面积相等；（3）利用一个图形的面积等于几个图形的面积的和或倍数。而证明面积相等常用的方法是：等底等高的三角形面积相等。3、对于涉及线段比，常用以下性质将线段比转化为面积比；（1）两个等高的三角形的两底之比，等于两个三角形的面积之比；两个等底的三角形的两高之比，等于两个三角形的面积比。（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。【赛题精选】例1、设△ABC的面积是1，D是BC上一点，且DC＝2BD（BD/DC＝1/2），若在AC上取一点E，使四边形ABDE的面积为4/5。求AE/EC的值。（2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）例2、在直角梯形ABCD中，底AB＝13、CD＝8，AD⊥AB，且AD＝12。求A到BC的距离。（2003年全国初中竞赛联合竞赛初赛题）166例3、设△ABC的三边a、b、c，三边上的高分别为h1、h2、h3，三边满足2b＝a＋c。求证：cabhhh112。（1996年山东省初中数学竞赛题）例4、在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足。求PE＋PF的值。（1998年全国竞赛题）【说明】对于垂线段的和差问题，常利用一个三角形的面积等于几个三角形的面积的和差来求。已知直角三角形的三边，求斜边上的高，由面积法来求比较方便。例5、平行四边形ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BM＝DN，其交战为P，设∠CPB＝α，∠CPD＝β，则（）A、α＝βB、α＞βC、α＜βD、α、β大小无法确定（1993年哈尔滨市竞赛题）【说明】欲证明两线段相等，可证它们所在的三角形的面积相等，进而得出两个三角形的底、高的关系式。若两高相等，则两底相等；反之则两高相等。167例6、设P、Q为线段BC上两点，且BP＝CQ，A为BC外一点，当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形，并证明。（1986年全国联赛题）【说明】证明线段的等积式时，要注意等积式的特点，若两线段乘积与某个图形的面积有关，则等积式可由面积公式证得。例7、已知△PQR、△P’Q’R’是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为：AB＝a1、BC＝a2、CD＝a3、DE＝b1、EF＝b2、FA＝b3。求证：a12＋a22＋a32＝b12＋b22＋b32。（1998年全国联赛题）【说明】继勾股定理后，证明线段的平方关系，也可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来证。由题设容易得到相似三角形多用这个定理。168例8、已知直线PQR交△ABC的边AB于P，交AC于Q，交BC的延长线于R。求证：1QACQRCBRPBAP。【说明】这就是著名的梅涅劳斯定理，运用此定理可证明有关线段成比例问题。上面是利用面积法证明的，本题还可以利用平行线的有关性质证明，不妨一试！例9、已知D、E、F分别是锐角△ABC三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PX＝x，PE＝y，PF＝z。若xy＋yz＋zx＝28。求xyz的大小。（1997年“希望杯”竞赛题）169【针对训练】