函数的奇偶性(讲义)

1函数的奇偶性【知识要点】1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数()fx定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx叫偶函数（evenfunction）.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx叫奇函数（oddfunction）.2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()fx与()fx的关系；（1）奇函数)0)((1)()(0)()()()(xfxfxfxfxfxfxf；（2）偶函数010xfxfxfxfxfxfxf.4．函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；（3）若奇函数xf在原点有意义，则00f；（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；（6）函数xf与函数xf1有相同的奇偶性.5．奇偶性与单调性：（1）奇函数在两个关于原点对称的区间baab,,,上有相同的单调性；（2）偶函数在两个关于原点对称的区间baab,,,上有相反的单调性.【典例精讲】类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：（1）xxxf22；（2）1122xxxf；（3）0babaxbaxxf；（4）21121xxxf；（5）；　，0,10,1)(22xxxxxxxf（6）.0,320,00,32)(22xxxxxxxxf，　，　2变式判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4；(2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+21x；(4)f(x)=21x.（5）xxxf2)(3（6）2442)(xxxf（7）)0,0(baxbaxy（8）)0(2kkxxy例2已知xf是R上的奇函数，且当0x时，1223xxxf，求xf的表达式。类型二函数奇偶性的简单应用例3（1）设函数f(x)=xaxx))(1(为奇函数，求实数a的值；（2）设函数y=f(x)是奇函数，若f(－2)+f(－1)－3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值；（3）已知xf是奇函数，)(xg是偶函数，且,11)()(xxgxf求xf与)(xg的解析式。变式（1）设()fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，()fx=22xx，则(1)f.（2）已知为奇函数，．（3）已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f，若2)()(xfxg，则)1(g。类型三函数性质的综合应用例4(1)奇函数)(xf在b[,]a上为增函数，试分析它在(a,]b上的单调性)0(a。(2)已知奇函数)(xf在单调区间3,7上有最大值2)5(f，则)(xf在7,3上的最值是。(3)已知偶函数)(xf在单调区间3,7上有最大值2)5(f，则)(xf在7,3上的最值是。()fx()()9,(2)3,(2)gxfxgf则3例5定义在R上的函数xf满足yfxfyxf,且对任意Ryx,,都成立。(1)证明:函数xf是奇函数；(2)如果,0)(,xfRx并且,21)1(f试求)(xf在区间6,2上的最值。【课堂练习】1.函数pxxxy||，Rx是（）A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与p有关2.若奇函数()fx在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]上是（）A.增函数且最小值是－1B.增函数且最大值是－1C.减函数且最大值是－1D.减函数且最小值是－13．若函数1fxxxa为偶函数，则a()（A）2（B）1（C）1（D）24.已知1xf是偶函数,则函数xfy2的图象的对称轴是()A.1xB.1xC.21xD.21x5.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)＜0的解是.6.已知函数1)(35cxbxaxxf，1)2(f，求)2(f。【思维拓展】1.定义在1,1上的函数xf满足yfxfyxf,且对任意1,1,yx,当0yx时,都有0yxyfxf。(1)证明:函数xf是奇函数；(2)用函数的单调性定义判断并证明函数xf在1,1上的单调性。4【课外作业】1．已知函数()fx是奇函数，当0x时，()(1)fxxx；当0x时，()fx等于（）A.(1)xxB.(1)xxC.(1)xxD.(1)xx2.对于定义域是R的任意奇函数)(xf都有（）A.0)()(xfxfB.0)()(xfxfC.0)()(xfxfD.0)()(xfxf3．若211)(22nxmxmxf为奇函数，则nm,的值为（）A.2,1nmB.2,1nmC.2,1nmD.Rnm,14.已知)(xf的定义域为0xRx，且满足xxfxf)1()(2，则)(xf的表达式为________.5.若261)(2mxxmxf是偶函数，则)2(),1(),0(fff的大小顺序是__________.6.已知()fx是定义在R上的奇函数，在(0,)是增函数，且(1)0f，则(1)0fx的解集为.7．若对于一切实数,xy，都有()()()fxyfxfy.（1）求(0)f，并证明()fx为奇函数；（2）若(1)3f，求(3)f。8.已知函数)(xf是定义在R上的偶函数，已知0x时，xxxf2)(2．（1）画出偶函数)(xf的图象；（2）根据图象，写出)(xf的单调区间；同时写出函数的值yxO